小结教学设计第一课时

课题: §3.4基本不等式第1课时

abab

2授课类型：新授课

【教学目标】

1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式abab的证明过程；

2【教学难点】

均值不等式abab等号成立条件. 2【教学过程】

1.课题导入

基本不等式abab的几何背景：

2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

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2.讲授新课

探究一:图形中的相等与不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为a2b2。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2b22ab。

何时取得等号？

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2b22ab。

得到结论：一般的，如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取""号)

探究二：思考证明：你能给出就以上结论的证明吗？

所以，一般的，对于任意实数a,b，都有a2b22ab，当且仅当ab时取等号。

探究三：当a0,b0时，以a，b代替此式中a,b的可得到一个什么样的关系式？

ab

2ab从不等式的性质推导基本不等式ab

2探究四：如何证明均值不等式 ：ab用分析法证明：

2

要证 abab (1) 2只要证 a+b (2) 要证（2），只要证

a+b-

0 （3）

2要证（3），只要证 （ - ） （4）

显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

探究五：理解均值不等式abab的几何意义

2探究：课本第98页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab. 这个圆的半径为ababab，其中，显然，它大于或等于CD，即22ab的几何解释吗？

2当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：均值不等式ab结论：1.如果把ab几何意义是“半径不小于半弦”

2ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数2a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称

ab为a、b的算术平均数，称ab为a、23

b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 总结：

重要不等式：a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取""号)

均值不等式：abab(a0,b0) 2注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。

（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。

[例题讲解] 例1：

若a,bR,且abo,则下列不等式中恒成立的是（）

A.a2b22abB.ab2ab112C.ababbaD.2ab1：

例2： 已知x、y都是正数，求证：

(1)≥2；

(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

yxxy3.随堂练习

1.已知a、b、c都是正数，求证

（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

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分析：对于此类题目，选择定理：活变形，可求得结果.

abab（a＞0，b＞0）灵2【课堂小结】

本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（abab），几何平均数（ab）及它们的关系（≥ab）.22它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数。

而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还aba2b2可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab≤（）222. 【课后作业布置】

步步高同步练习

【课后反思笔记】

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