2.2.1 综合法和分析法ppt课件配套教案内容

2.1综合法和分析法

学习目标

1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法的思考过程、特点. 2.会用综合法和分析法证明数学问题.

重点难点

重点：综合法与分析法的逻辑思维过程与逻辑思维方法. 难点：综合法与分析法的应用.

预习篇

一般地，利用已知条件和某些数学 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做 ．

用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

1．综合法中每步推证的结论是已知(或上一结论)的充分条件还是必要条件？

提示：是必要条件，由综合法的特点，它的每一步推证都是由“已知”推出“新结论”，直至要证的结论．其实质是命题“p⇒q”中已知p寻找q，即是寻找必要条件．

2．综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

提示：综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的．

1．分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件

(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

2．分析法的思维过程

用Q表示要证明的结论，则分析法可表示如下；

3．(1)分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

(2)分析法中每一步寻找的是充分条件还是必要条件？为什么？

提示：(1)分析法的推理过程属于演绎推理，这是因为在分析法的推理过程中，每一步推理都是严密的逻辑推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．

(2)分析法每一步寻找的都是充分条件而不是必要条件，分析法的证明过程常采用“欲证Q只需证P”的形式表示，亦即只要P成立，就一定有Q成立，因此P是Q的充分条件，当然P是Q的充分必要条件时也可以．

综合法和分析法的关系

分析法和综合法是统一的，不能把分析法和综合法孤立起来使用，分析和综合相辅相成，有时先分析后综合，有时先综合后分析，有时分析找思路，综合写解答．

课堂篇

11【例1】

已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：＋≥4. ab【思路分析】

解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式a＋b≥2ab(a>0，b>0)即可得出结论．

【证明】

方法1：∵a>0，b>0，且a＋b＝1，

1∴a＋b≥2ab，∴ab≤，

411a＋b1∴＋＝＝≥4. ababab

当且仅当a＝b时，取“＝”号．

方法2：∵a>0，b>0，

11∴a＋b≥2ab>0，＋≥21abab>0，

11∴(a＋b)＋≥4. ab11又a＋b＝1，∴＋≥4. ab当且仅当a＝b时，取“＝”号．

11a＋ba＋bba方法3：＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2 abababba·＝4. ab当且仅当a＝b时，取“＝”号．

通法提炼

综合法从正确地选择已知或真实的命题出发，依次推出一系列的真实命题，最后达到我们所需要证明的结论.在运用综合法证明命题的时候，必须首先找到正确的出发点，也就是想到能从哪里起步.一般地，要广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层递进，步步为营，由已知逐渐地引导到结论. 如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则(

) A．a1a8>a4a5 C．a1＋a8>a4＋a5

B．a1a8

D．a1a8＝a4a5

解析：设等差数列的公差为d，则

a1a8＝a1(a1＋7d)＝a21＋7a1d，

2a4a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a21＋7a1d＋12d，

∵d≠0，∴a4a5>a1a8.

【例2】

已知a>5，求证：a－5－a－3

【证明】

要证a－5－a－3

只需证a－5＋a

只需证(a－5＋a)2<(a－3＋a－2)2，

只需证2a－5＋2a2－5a<2a－5＋2a2－5a＋6，

只需证a2－5a

只需证0<6.因为0<6恒成立，

所以a－5－a－3

通法提炼

对于含有多个根号的证明题易采用分析法，在证明时应先保证式子两边为正，才能进行平方，即要保证等价变形.

求证：3＋22<2＋7. 证明：要证明3＋22<2＋7，

由于3＋22>0,2＋7>0，

只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，

展开得11＋46<11＋47，需要证明6<7，

只需证明6<7，显然6<7成立，

∴3＋22<2＋7成立．

【例3】

若a，b，c为不全相等的正数，求证：lglga＋b2＋

b＋c2＋lgc＋a2>lga＋lgb＋lgc. 【思路分析】

本题先利用分析法将对数不等式转化为一般不等式，再用综合法证明不等式成立，两种方法同时使用，可使问题迅速解决．

【证明】

要证lg只需证lg(即证

因为a，b，c为不全相等的正数，

所以·a＋b222＋lgb＋c2＋lgc＋a2>lga＋lgb＋lgc，

a＋bb＋cc＋a22·2)>lg(a·b·c)，

a＋bb＋cc＋a2··>abc. a＋b2≥ab>0，b＋c2≥bc>0，c＋a2≥ac>0，

且上述三式中等号不能同时成立．

所以a＋bb＋cc＋a2·2·2>abc成立，

所以lg

a＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2>lga＋lgb＋lgc成立．

通法提炼

对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，

寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用.

113.设x，y∈R且x＋y＝1，求证：(1＋)(1＋)≥9. ＋xy

证明：证法1：(综合法) x＋yx＋yyx左边＝(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋) xyxy＝4＋2(＋)＋1≥5＋4＝9.

11证法2：(分析法)要证(1＋)(1＋)≥9成立，

yxxyxy∵x，y∈R＋且x＋y＝1，∴y＝1－x，

11只需证明(1＋)(1＋)≥9，

x1－x即证(1＋x)(1－x＋1)≥9x(1－x)，

即证2＋x－x2≥9x－9x2，即证4x2－4x＋1≥0，

即证(2x－1)2≥0，此式显然成立，所以原不等式成立．