2.基本不等式优秀教案案例

人教版高中数学必修5第三章 教学设计

基本不等式（第一课时）

一、教学目标

知识与能力：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力. 过程与方法：按照创设情景，提出问题→

剖析归纳证明→

几何解释→

应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣. 情感态度与价值观：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想. 二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式abab

的证明过程；

2难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．

三、教学过程：

1．问题引入

如图是在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表着中国人民热情好客．

探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？

1

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在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为a,b，

那么正方形的边长为a2b2．于是，

4个直角三角形的面积之和S12ab，

正方形的面积S2a2b2．

由图可知S2S1，即ab2ab．

思考：ab,2ab有相等的情况吗？你能证明该结论吗？

探究二、如果a0,b0,我们用a,b分别代替a,b，可得到什么结论？

替换后得到：(a)2(b)2≥2ab

即：ab2ab

2222ab

即：2ab(a0,b0)

【动手感知】将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a和b（ab），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？借此感知基本不等式的结论：b

a

abab

2根据上述背景，初步形成不等式结论：

若a,bR，则abab．

22．代数证明，得出结论

问题1：你能用不等式的性质直接推导不等式：若a,bR，则abab吗？

2

2

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证法一（作差法）：

abab2ab(ab)2，

ab222又(ab)20（当且仅当ab时取等号）

abab（当且仅当ab时取等号）．

2abab，

2证法二（分析法）：由于a,bR，于是要证明 只要证明 ab2ab，

即证ab2ab0

即证 (a)2(b)22ab0，

即 (ab)20，该式显然成立，

所以abab，当且仅当ab时取等号．

2得出结论，展示课题内容

基本不等式:若a,bR，则abab（当且仅当ab时，等号成立）

2ab为a,b的算术平均数

2深化认识：称ab为a,b的几何平均数；称基本不等式abab又可叙述为：

2两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数

3．几何证明，相得益彰

探究三：如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，ACa，BCb．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD．

根据射影定理可得：CDACBCab

由于RtCOD中直角边CD斜边OD，

于是有abD A B E O C ab

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当且仅当点C与圆心O重合时，即ab时等号成立．

故而再次证明：

当a0,b0时，abab（当且仅当ab时，等号成立）

2（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）

4．应用举例，巩固提高

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）

对于x,yR，

（1）若xyp（定值），则当且仅当xy时，xy有最小值2p；

s2（2）若xys（定值），则当且仅当xy时，xy有最大值．

4（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神）

变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？

5．归纳小结，反思提高

(1)两个不等式：

若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

若a,bR，则abab（当且仅当ab时，等号成立）

2（2）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；

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（3）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．

6．布置作业

作业：（1）课本P100习题A组1、2题

1, 求函数yx(12x)的最大值. 21 (3)求函数f(x)x(x1)的最小值. x1 （2）若0x7、课后探究: 现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．

8、板书设计

课题：基本不等式

1、重要不等式

2、基本不等式

3、证明：

1）直观感知

2）代数证明

3）几何证明

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