一 数学归纳法课件配套优秀教案设计

4.1数学归纳法教学设计

教材背景：

归纳是一种由特殊事例导出一般规律的思维方法．归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种．不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的．完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来．数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种推理方法，在数学问题的解决中有着广泛的应用．

教学课题：数学归纳法

教材分析：

“数学归纳法”既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。它贯通了高中代数的几大知识点：不等式，数列，三角函数……在教学过程中，教师应着力解决的内容是：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤（特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）。只有真正了解了数学归纳法的实质，掌握了证题步骤，学生才能信之不疑，才能用它灵活证明相关问题。本节课是数学归纳法的第一节课，有两大难点：使学生理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中归纳假设的利用。不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。这会对以后的学习造成极大的阻碍。根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“引导发现法”和“讲练结合法”。通过课件的动画模拟展示，引发和开启学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深层实质。

教学目标

1、知识和技能目标

(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）

(2)了解数学归纳法的原理及使用范围。

(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。

(4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题。

2、过程与方法目标

通过对归纳法的复习，说明不完全归纳法的弊端，通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中

培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

3.情感态度价值观目标

通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。

教学重点和难点

教学重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质

。

（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用。 教学难点：

（1）数学归纳法的原理；

教学方法：讲授法、引导发现法、类比探究法、讲练结合法

教学过程：

（一）复习引入

问题（1）今天，据观察第一个进班的是男生，第二个也是男生，第三个还是男同学，于是得出：今天来上课的学生都是男生。（不完全归纳法）

问题（2）三角形的内角和为180º，四边形的内角和为2•180º,五边形的内

角和为3•180º，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) •180º。（不完全归纳法）

问题（3）教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”。（完全归纳法） 说明：

（1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论不一定正确。

（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。

提出问题：如何寻找一种严格推理的归纳法？

（二）新课讲解

1、多米诺骨牌实验

要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

（1）第一张牌被推倒 （奠基作用）

（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下 （递推作用）

于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。

2、数学归纳法证明步骤：

(1)验证当n取第一个值n0（如n0=1或2时）命题正确。

(2)假设当nk时(kN,kn0)命题正确，证明nk1时命题也正确。

3、例题讲解

例1.用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n–1)=n2 (n∈N*) 证明：（1）当n=1时，左边=1,右边=12=1，等式成立. （2）假设n=k时等式成立，1+3+5+…+(2k–1)=k2 , 则n=k+1时， 1+3+5+…+[2(k+1)–1] = 1+3+5+…+(2k–1)+[2(k+1)-1] = k2+2k+1 =(k+1)2. 即n=k+1时等式也成立. 根据（1）,（2）知等式对一切n∈N*都成立. n(n1)(2n1)(nN)

例2.证明：122232n26(11)(21)1等式成立

证明：（1）当n1时，左边=1，右边=6（2）假设当nk时等式成立即

k(k1)(2k1)122232k2

6当nk1时，

122232k2(k1)2k(k1)(k2)(k1)26k(k1)(k2)6(k1)26

(k1)(k28k6)6(k1)(k2)(2k3)6(k1)(k1)12(k1)16所以当nk1时等式成立

由（1）和（2）可知等式对一切正整数均成立。

注意：

（1）用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两步同样重要，两步骤缺一不可. （2）第二步证明，由假设n＝k时命题成立，到n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归纳法。

（3）最后一定要写“由（1）（2）……”

探究1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？

解:设n＝k时成立，即2+4+6+…+2k＝k2+k+1 则当n=k+1时， 2+4+6+…+2k+2(k+1) ＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1 这就是说，n＝k+1时也成立。

所以等式对任何n∈N*都成立。

辨析：该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早。事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3 左边≠右边，等式不成立。

111nn(n1)n1

探究2：下面是某同学用数学归纳法证明命题1223的过程，你认为他的证法正确吗？为什么？ 1111 等式成立

证明：（1）当

n1时 左边= 右边122112

（2）假设当nk时命题成立即

1112231kk(k1)k1 111那么nk1时, 左边(1)()223(11)

k1k211k=右边

k2(k1)1 即nk1时命题成立

由（1）和（2）知，对一切自然数命题均成立。

辨析：第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求。

因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。

（三）、课堂小结

（1）理解数学归纳法的原理

（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推依据，最终给出结论。

（3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。

（四）、作业 : P50 习题4.1 （五）、预习：用数学归纳法证明不等式

（六）、课后反思

1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．

2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．

3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．