1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用优质课一等奖

学习目标

1.了解分类变量的意义.2.了解2×2列联表的意义.3.了解随机变量K2的意义.4.通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法．

知识点一

分类变量及2×2列联表

思考

山东省教育厅大力推行素质教育，增加了高中生的课外活动时间，某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表：

男生

女生

合计

如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”？

梳理

(1)分类变量

变量的不同“值”表示个体所属的____________，像这样的变量称为分类变量．

(2)列联表

①定义：列出的两个分类变量的__________，称为列联表．

②2×2列联表

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为________________和________________，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为下表．

x1

x2

总计

y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

体育

210

60

270

文娱

230

290

520

合计

440 350 790

知识点二

等高条形图

1．与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否____________，常用等高条形图展示列联表数据的________特征．

2．如果通过计算或等高条形图发现__________．

知识点三

独立性检验

1．定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

2．K2＝____________________________. 其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

3．独立性检验的具体做法

(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定____________．

(2)利用公式计算随机变量K2的____________．

(3)如果____________，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在__________________不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中________________________支持结论“X与Y有关系”．

ac和相差很大，就判断两个分类变量之间a＋bc＋d

类型一

利用等高条形图判断两个分类变量是否有关系

例1

为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：

组别

铅中毒病人

对照组

总计

试画出列联表的等高条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？

阳性数

29

9

38

阴性数

7

28

35

总计

36 37 73

反思与感悟

(1)等高条形图实质上是列联表中的数据的频率特征．

(2)由于高度相等的条形分别用两种不同颜色表示，其频率差异更能直观地表现出来．

跟踪训练1

网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1 000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．利用图形判断学生经常上网与学习成绩有关吗？

类型二

由K2进行独立性检验

例2

对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示．

心脏搭桥手术

血管清障手术

合计

试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作过心脏病的影响有没有差别．

又发作过心脏病

39

29

68

未发作过心脏病

157

167

324

合计

196 196 392

反思与感悟

(1)独立性检验的关注点

在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，关系越弱；|ad－bc|越大，关系越强．

(2)独立性检验的具体做法

①根据实际问题的需要确定允许推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值k0. nad－bc2②利用公式K＝计算随机变量K2的观测值k. a＋bc＋da＋cb＋d2③如果k≥k0，推断“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”．

跟踪训练2

某省进行高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人．

(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；

(2)判断是否有99%的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系．

类型三

独立性检验的综合应用

例3

电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收看情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．如图所示的是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女生．

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

男

女

总计

(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．

nad－bc2附：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

a＋bc＋da＋cb＋d2非体育迷

体育迷

总计

P(K2≥k0)

k0

0.10

2.706

0.05

3.841

0.01 6.635

反思与感悟

准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键．求概率时列举基本事件一定要做到不重不漏，此处极容易出错．

跟踪训练3

为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，统计结果如下表：

性别

是否需要志愿者

需要

不需要

总计

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？请说明理由．

男

40

160

200

女

30

270

300

总计

70 430 500

1．下面是一个2×2列联表：

x1

x2

总计

则表中a，b处的值分别为(

) A．94,96

C．52,54

B．52,50 D．54,52 y1

a 2

b y2

21

25

46 总计

73 27

2．某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如表：

秃发

不秃发

775×20×450－5×3002根据表中数据得到k＝≈15.968，因为k>6.635，则断定秃发与心脏25×750×320×455病有关系，那么这种判断出错的可能性为(

) A．0.1

C．0.025

B．0.05 D．0.01 心脏病

20

5

无心脏病

300 450 3．用等高条形图粗略估计两个分类变量是否相关，观察下列各图，其中两个分类变量关系最强的是(

)

4．若在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是(

) A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌

B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌

C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人

D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有

5．根据下表计算：

男

女

K2的观测值k≈________.(保留3位小数)

1．列联表与等高条形图

列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有相关关系，而利用等高条形图能形象直观地反映它们之间的差异，进而推断它们之间是否具有相关关系．

2．对独立性检验思想的理解

独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法．先假设“两个分类变量没有关系”成立，计算随机变量K2的值，如果K2的值很大，说明假设不合理．K2越大，两个分类变量有关系的可能性越大．

不看电视

37

35

看电视

85 143