1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教学设计

1.1回归分析的基本思想及应用

教学目标：

1．会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．

2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

教学过程：

一复习导入

1．两个变量的线性相关

(1)正相关

在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．

(2)负相关

在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．

(3)线性相关关系、回归直线

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

2．回归方程

(1)最小二乘法

求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

(2)回归方程

^x＋a^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x，y)，(x，y)，…，(x，y)的回方程^y＝b1122nn^，b^是待定参数．

归方程，其中a

x－xy－yxy－nx

y^＝b＝，

x－xx－nx^＝y－b^x.anniiiii＝1i＝1ni2n2i2i＝1i＝1

3．回归分析

(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

(2)样本点的中心

对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中(x，y)称为样本点的中

心．

(3)相关系数

当r＞0时，表明两个变量正相关；

当r＜0时，表明两个变量负相关．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．

r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．

二．例题讲解

【例1】

(2013·湖北卷)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y与x负相关且y

＝2.347x－6.423；

②y与x负相关且y

＝－3.476x＋5.648；

③y与x正相关且y

＝5.437x＋8.493；

④y与x正相关且y

＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是

(

)．

^^^^A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

解析

①中，回归方程中x的系数为正，不是负相关；④方程中的x的系数为负，不是正相关，∴①④一定不正确．

答案

D 课堂练习：1. 对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断(

)．

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

解析

由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．

答案

C 二

线性回归方程及其应用

【例2】

(2013·重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，x2i＝720. i＝1^i＝1^i＝1i＝1^10101010(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y

＝b

x＋a

；

(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

附：线性回归方程y

＝b

x＋a

中，b

＝^^^^i＝1xiyi－n

x

y2x2i－n

xnn，a

＝y－b

x，其中x，y为样^^i＝1本平均值．

n1n1n^^2审题路线

先确定x＝nxi，y＝nyi⇒计算x2i－n

x⇒计算b⇒计算a⇒得到线性回归方i＝1i＝1i＝1^的符号判断相关⇒把x＝7代入线性回归方程求^程⇒由by. 1n801n20解

(1)由题意知n＝10，x＝nxi＝10＝8，y＝nyi＝10＝2，

i＝1i＝1又x2i－n＝i1nx＝720－10×8＝80，xiyi－nx

y＝184－10×8×2＝24. i＝122n由此得b

＝^i＝1xiyi－10 x

y2x2i－10 x10^^24＝80＝0.3，a

＝y－b

x＝2－0.3×8＝－0.4，

10i＝1故所求回归方程为y

＝0.3x－0.4.

课堂练习：2(2014·南昌模拟)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据. ^

房屋面积x/m2

销售价格y/万元

(1)求线性回归方程；

115

24.8

110

21.6

80

18.4

135

29.2

105 22 (2)据(1)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．

1解

(1)x＝5×(115＋110＋80＋135＋105)＝109，

1y＝5×(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2. ^x＋a^，则

设所求回归直线方程为^y＝b

xi－xyi－y^＝i＝1b5

xi－x2i＝15308＝1 570≈0.196 2，

^＝y－b^

x＝23.2－109×308≈1.816 6. ∴a1 570∴所求回归直线方程为^y＝0.196 2x＋1.816 6. (2)由第(1)问可知，

当x＝150 m2时，销售价格的估计值为^y＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．

三．课堂小结

^，b^，由于a^，b^的计算量大，计算时应仔细谨慎，分1．求回归方程，关键在于正确求出系数a层进行，避免因计算而产生错误．

2．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求线性回归方程．

四．作业

1．已知施化肥量x与水稻产量y的试验数据如下表，则变量x与变量y是________相关(填“正”或“负”). 施化肥量x 水稻产量y 15

330

20

345

25

365

30

405

35

445

40

450

45 455 解析

因为散点图能直观地反映两个变量是否具有相关关系，所以画出散点图如图所示：

通过观察图象可知变量x与变量y是正相关．

答案

正

2．(2014·济南模拟)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年教育支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：^y＝0.15x＋0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．

解析

回归直线的斜率为0.15，所以家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加0.15万元．答案

0.15 3．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据. x y (1)请画出上表数据的散点图；

^x＋a^；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程^y＝b(3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解：(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．

3

2.5

4

3

5

4

6 4.5

(2)由对照数据，计算得：xi2＝86，

i＝13＋4＋5＋62.5＋3＋4＋4.5x＝＝4.5(吨)，y＝＝3.5(吨)．

444

已知xiyi＝66.5，

i＝1所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：

4xiyi－4x·y^＝i＝1b4＝2x2i－4x466.5－4×4.5×3.5＝0.7，

86－4×4.52i＝1^＝y－b^x＝3.5－0.7×4.5＝0.35. a因此，所求的线性回归方程为^y＝0.7x＋0.35. (3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：

90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．