阅读与思考 海伦和秦九韶优秀教案

海伦和秦九韶

教学目标：1）了解数学家海伦和秦九韶的生平和数学贡献

2）推导海伦公式和秦九韶公式

3）海伦公式和秦九韶公式的简单应用

教学重点：海伦公式和秦九韶公式的简单应用

教学过程：海伦公式和秦九韶公式的推导

一、新课引入

1.张仪戏楚

战国时期，楚国和齐国联合，打算一起攻打秦国。张仪作为秦国重臣出使楚国，目的是破坏齐楚联盟。张仪到了楚国，面见楚怀王，表示如果楚国和齐国断交，秦国愿意送给楚国商於之地六百里的土地。楚怀王财迷心窍，马上同意。于是一边派人和张仪去秦国办理土地转让手续，一边写信表示和齐国断交。张仪回了秦国，假装从车上摔伤了，一连三个月不上朝，楚怀王心想这可能是张仪觉得我和齐国断交不够彻底。于是楚怀王不顾屈原等大臣的反对，选了几个口才好的使者，跑去齐国，当着齐

王的面，骂齐王。这下齐国是怒了，彻底和楚国断了交。

秦国这边得到齐楚决裂的消息，张仪对前来接受土地的使者矢口否认，说哪有六百里，我们明明说的是六里地。这下楚怀王大怒，集结了十万大军攻打秦国，秦国也不甘示弱，以十万的军队打了回去，同时被骂的齐王也出兵伐楚，楚军大败，不得不割地示弱。齐楚之间联盟的破裂也给合纵带来了很大的威胁。在之后的十几年，张仪不断游说各国君主，在很大程度上，动摇了各国合纵抗秦的决心。

2.如果在一块土地上有三点A、B、C构成三角形ABC，现用皮尺测量出三边长a,b,c，求这块三角形土地的面积。

二、新课

一、两个公式推导

1）Sp(pa)(pb)(pc)，pabc

2122a2c2b222）S[ac()]

42

一、海伦公式

S11absinCab1cos2C221a2b2c221ab1()[(2ab)2(a2b2c2)2]22ab161[2ab(a2b2c2)[2ab(a2b2c2)]161[(abc)(abc)[cba)(cab)]16abcabcabcabc)(c)(a)(b)2222

(pp(pa)(pb)(pc)abc

2这个公式一般称之为海伦公式，因为它是由古希腊的著名数学家海伦首先提出的。海伦是亚历山大学派后期的代表人物，亚历山大后期，希腊文明遭到了严重的摧残，随着罗马帝国的扩张，希腊处于罗马的统治之下，亚里山的图书馆等被付之以火，这是历史上最大的文化浩动之一。在罗马统治下，科学技术主要是为阶级的军事征战和一公贵族的奢侈需要服务的，他们讲求实用而轻视理论。虽然亚历山大城仍然保持着数学中心的地痊，出现了诸如托勒密和丢番图等数学家，但是毕竟无法挽救希腊衰亡的命运。与此同时，基督都在希腊兴起，基督教的兴起和传播，使得相像在一定历史条件下的科学淹没在宗教的热忱中，从此，希腊数学蒙受了更大的灾难。到了公元415年，希腊女数学家希帕提亚在街上被疯狂的基督教徒割成碎块，她的学生被迫逃亡，从此，盛极一时的亚历山学派就这样无声无地结束了。海伦就生活在这样的黑暗统治之中，幸运的是，他生活在亚历山大文明遭到摧残的早期，作为一各杰出的工程师和学者，他有许多发明，在数学、物理、测量等方面都有著作，是一位学识非常渊博的学者。他注重实际应用。最著名的贡献就是提出并证明了已知三边求三角形面积的公式。这个公式出现在他的》几何学《一书中，除此之外，他还研究了正多边形示积法、二次方程求解等问题。

二、秦九韶公式

秦九韶是他那个民族。他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一

---美科学史学家萨顿

解：过点A作ADBC。垂足为D，设AD=m,BD=n,则

mnaha2c2b2cmbnmncbmna222222221c2b2a2c2b222m(a)hac()2a2aSSABC1122a2c2b22a.haac()2221[(abc)(abc)[cba)(cab)]16abcabcabcabc)(c)(a)(b)2222(p(pa)(pb)(pc)

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。

秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上。一小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一从为隅，开平方的积”

秦九韶（1208年－1268年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县）人，祖籍鲁郡（今河南范县）。南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。

精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，1247年完成著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献，表述了一种求解一元高次多项式方程的数值解的算法——正负开方术。

例题讲解：

1.已知在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，分别求下列条件下ABC的面积

1）a3,b4,c6

2）a3,b5,c7

3)a32,c32,c4

练习1. 在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，分别求下列条件下ABC的面积

1）a7,b8,c10

2）a322,b322,c6

思考. 在ABC中，

A,B,C

的坐标依次为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，求ABC的面积

解：

A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)|AB|(x1x2)2(y1y2)2,AB:yy1|dy2y1(xx1)x2x1y2y1(x3x1)(y1y3)|x2x11(y2y12)x2x1|(y2y1)(x3x1)(y1y3)(x2x1)|(x1x2)2(y1y2)211|AB|d|(y2y1)(x3x1)(y1y3)(x2x1)|22S1|(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)|21x2x1x3x1||2y2y1y3y1

小结：1）海伦和秦九韶的生平和数学贡献

2）海伦公式和秦九韶公式

3）ABC中，

A,B,C

的坐标依次为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，求ABC的面积