1.3 二项式定理（通用）优秀教学设计

二项式定理

一、教学目标



知识目标：

1、理解杨辉三角形。其行为样例是：（1）能用不完全归纳法写出杨辉三角形；（2）能根据杨辉三角形对(ab)n(n6)的二项式进行展开。

2、掌握二项式定理。其行为样例是：（1）能根据组合思想及不完全归纳法猜出二项展开rrnrr式的系数Cn(r0,1,2,,n,nN)以及二项展开式的通项Tr1Cnab；(2)能正确区分二项式系数和某一项的系数；（3）能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开、并求出它特定的项或系数。



能力目标：

1、培养学生观察、分析、归纳、发现事物内在规律的能力。

2、培养学生严格的逻辑思维能力及创造性思维能力。



情感目标：

培养学生自主探究意识，合作精神；体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨。

二、教学重点与难点

1、重点：正确理解和掌握二项式定理。

2、难点：二项式定理的推导，定理大致按“设想→突破→建构→论证”四个层次得到的。（定理的证明本课不做要求）

（教具：PPT课件）

三、教学过程

1、情景引入

问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？

预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。

问题2：若今天是星期一，再过8(nN)天后是星期几？怎么算？

预期回答：将问题转化为求“8(71)被7除后算余数”是多少，也就是研究nnn(ab)n(nN)的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。

（设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握- 1 -

知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。）

2、新授（探究

归纳）

第一步：让学生展开

(ab)1ab

(ab)2a22abb2；

(ab)3(ab)2(ab)a33a2b3ab2b3；

(ab)4(ab)3(ab)a44a3b6a2b24ab3b4

(ab)5(ab)5(ab)a55a4b10a3b210a2b35ab4b5

教师将以上各展开式的系数整理成如下模型

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。

预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。

问题2：以(ab)5的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。

预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。

初步归纳出下式：

(ab)nanan1ban2b2an3b3bn

（※）

（设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）

练习：展开(ab)

教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉- 2 - 7

三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。

第二步：继续设疑

如何展开(ab)100以及(ab)n(nN)呢？

（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。）

继续新授

师：为了寻找规律，我们将(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)中第一个括号中的字母分别记成a1,b1；第二个括号中的字母分别记成a2,b2；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：

(ab)4(a1b1)(a2b2)(a3b3)(a4b4)

a1a2a3a4

………a4

a1a2a3b4a1a2a4b3a1a3a4b2a2a3a4b1

………a3b

a1a2b3b4a1a3b2b4a1a4b2b3a2a3b1b4a2a4b1b3a3a4b1b2

………a2b2

a1b2b3b4a2b1b3b4a3b1b2b4a4b1b2b3

………ab3

b1b2b3b4

………b4

（设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。）

问题1：以ab项为例，有几种情况相乘均可得到ab项？这里的字母a,b各来自哪个括号？

问题2：既然以上的字母a,b分别来自4个不同的括号，ab项的系数你能用组合数来表示吗？

问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？

（预期答案：

有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b。每个括号只能取一个字母，任取两个a、两个b，然后相乘，问不同的取法有几种？）

问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子：

222222(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)a4a3ba2b2ab3b4

括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。

呈现二项式定理——板书课题：

0n1n12n22rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb(nN)

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3、深化认识

请学生总结：

①二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？

②二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？

由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。

（设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。）

4、例题应用

【例1】展开①(11416)

②(2x)

xx【例2】①求(12x)7的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。

②求(x19)的展开式中含x3项的系数。

x【变式】在二项式定理中，令a1,bx，得到怎样的公式？

122rrnn(1x)n1CnxCnxCnxCnx

012rn思考：CnCnCnCnCn?为什么？

12rn

CnCnCnCn?

0n1n1n1n【例3】解决起始问题：8n(71)nCn，

7Cn7Cn7Cn前面是7的倍数，因此余数为Cn1，故应该为星期二。

说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。

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四、课堂小结

①本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。

②二项式定理的表达式以及展开式的通项，

③要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，

④将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值。

五、布置作业P31 练习T1、2、3、4

六、板书设计

二项式定理

一、二项式定理： 二、通项公式： 三、例题：

rn-rrn①(a+b)=……

Tr+1=Cnab

②特例： 应用：

(a-b)n =……

(1+x)n=……

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