1.1 回归分析的基本思想及其初步应用精品学案

1.1

回归分析的基本思想及其初步应用

1.2

课堂导学

三点剖析

各个击破

一、求线性回归方程

【例1】研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：

水深x(m) 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 流速y(m/s) 1.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21 (1)求y对x的回归直线方程；

（2）预测水深为1.95 m时水的流速是多少？

解：(1)散点图如下图所示.

ˆ. ˆ与回归系数b列表计算a序号

1 2 3 4 5 6 7 8 ∑

xi

1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 14.00 yi

1.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21 15.82 xi2

1.96 2.25 2.56 2.89 3.24 3.61 4.00 4.41 24.92 yi2

2.890 3.2041 3.5344 3.8025 4.1209 4.4100 4.6656 4.8841 31.5116 xiyi

2.380 2.685 3.008 3.315 3.654 3.990 4.320 4.641 27.993 于是x21114＝1.75,y15.82＝1.9775, 882∑xi=24.92,∑yi=31.511 6,∑xiyi=27.993, ˆ∴b27.99381.751.9775≈0.733,

224.9281.75ˆx=1.977 5-0.733×1.75=0.694 8,

ˆy-baˆx=0.694 8+0.733x. ˆaˆb∴y对x的回归直线方程为yˆ=0.733的意思是：在此灌溉渠道中，水深每增加0.1 m水的流(2)在本题中回归系数b第

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ˆ=0.694 速平均增加0.733 m/s, a8，可以解释为水的流速中不受水深影响的部分，把x=1.95ˆ=0.694 8+0.733×1.95≈2.12 m/s，计算结果表明：当水深为1.95 m可以预报代入得到y渠水的流速约为2.12 m/s. 类题演练

1 关于人体的脂肪含量（百分比）和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组数据：

年龄x

脂肪y

年龄x

脂肪y

23 9.5 53 29.6 27 17.6 54 30.2 39 21.2 56 31.4 41 25.9 57 30.8 45 27.5 58 33.5 49 26.3 60 35.2 50 28.2 61 34.6 (1)作散点图；

（2）求y与x之间的回归线方程；

（3）给出37岁人的脂肪含量的预测值. 解：（1）略

ˆ=bx+a,则由计算器算得a=-0.448,b=0.577, （2）设方程为yˆ=0.577x-0.448. 所以yˆ=0.577×37-0.448=20.90. （3）当x=37时，y变式提升

从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重的数据如下表所示：

编号

身高/cm 体重/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重. 解：作散点图，由于问题是根据身高预报体重，因此要求身高与体重的回归直线方程，取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图如右图所示.

1n1nxxi,yyi

ni1ni1ˆb(xi1nnix)(yiy)iˆx=-85.712. ˆyb≈0.849,a(xi1x)2第

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ˆ=0.849x-85.712. ∴回归直线方程为y所以对于身高172cm女大学生，由回归方程可以预报体重为ˆ=0.849×172-85.712=60.316(kg). y∴预测身高为172cm的女大学生的体重约为60.316kg. 二、非线性回归问题

【例2】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

身高x/cm 体重y/kg 身高x/cm 体重y/kg 60 6.13 120 20.92 70 7.90 130 26.86 80 9.99 140 31.11 90 12.15 150 38.85 100 15.02 160 47.25 110 17.5 170 55.05 （1）试建立y与x之间的回归方程；

（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm体重为82 kg的在校男生体重是否正常？

解:根据上表中数据画出散点图如下图

（1）

由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y=c1ec2x的周围，于是令z=lny. x z x z 60 1.81 120 3.04 70 2.07 130 3.29 80 2.30 140 3.44 90 2.50 150 3.66 100 2.71 160 3.86 110 2.86 170 4.01 作出散点图如下图所示

由表中数据可得z与x之间的回归直线方程：

ˆ=0.693+0.020x,则有yˆ=e0.693+0.020x. zˆ=e（2）当x=175时，预测平均体重y0.693+0.020×175≈66.22,

由于66.22×1.2≈79.47＜82, 所以这个男生偏胖. 类题演练

2

电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电.由经验知道，此后电压U随时间t变化第

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的规律用公u=Ae(b＜0)表示.现测得时间t(s)时的电压U（V）如下所示：

t: 0 1

2 3

4 5

6 7

8 9 10 U:100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5 试求电压U对时间t的回归方程. （提示：对公两边取自然对数，把问题化为线性回归分析问题）. 解析：根据提示公式，两边取对数得

lnu=lnA+bt

令y=lnu,a=lnA,则y=a+bt. 由前两组数据得a=ln100，b=ln∴y=ln100+lnbt3. 43·t. 4根据上述公式样本点可转换为

t

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y

4.6 4.3 4.0 3.9 3.4 2.9 2.7 2.3 2.3 1.6 1.6 其散点图为

由散点图可知y与t线性相关，可用

ˆtaˆbˆ表示, yˆ=-0.3,aˆ=4.6, 利用科学计算器，可得bˆ=-0.3t+4.6, ∴yˆ=-0.3t+4.6, 即lnuˆ=100e-0.3t. ∴u三、回归分析

【例3】某农场对单位面积化肥用量x(kg)和水稻相应产量y（kg）的关系作了统计，得到数据如下：

x:15

20 25

30 35

40 45 y:330 345 365 405 445 450 455 如果x与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当单位面积化肥用量为32 kg时水稻的产量大约是多少（精确到0.01 kg）. 解:用列表的方法计算a与回归系数b. 序号

1 2 3 x

15 20 25 y

330 345 365 x2

225 400 625 xy

4950 6900 9125 第

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4 5 6 7 ∑

30 35 40 45 210 405 445 450 455 2795 900 1225 1600 2025 7000 12150 15575 18000 20475 87175 1210＝30, 71y＝2795≈399.3,

7ˆ87175-730399.3≈4.746,

b70007302ˆ=399.3-4.746×30=256.92,

axy对x的回归直线方程为：

ˆx=256.92+4.746x，当x=32时，yˆ=256.92+4.746×32≈408.79

ˆbˆayˆ=256.92+4.747x，当单位面积化肥用量为32 kg时，水稻的产量答：回归直线方程为y大约为408.79 kg. 类题演练

3

为了了解某地母亲身高X与女儿身高Y的相关关系，现随机抽取了10对母女测得相应的身高如下表所示：

母亲身高x cm 女儿身高y cm 母亲身高x cm 女儿身高y cm 159 158 154 155 160 159 159 162 160 160 158 157 163 161 159 162 159 161 157 156 （1）画出散点图; （2）对X与Y进行回归分析; （3）预测母亲身高为170 cm时女儿的身高为多少？

解：

（1）做出散点图如下图

（2）作回归分析：

ˆ=bx+a，可求得从画出的散点图中我们可以看出，X与Y具有线性关系，设回归方程为yˆ=0.78x+35.2. b=0.78,a=35.2，因此回归直线方程为y(3)预测x=170时，y=0.78×170+35.2≈168 cm.

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