1.3 二项式定理（通用）课件配套优秀公开课教案设计

1.3.2杨辉三角

【教学目标】

知识与技能：

1、使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史，掌握杨辉三角的基本性质； 2、探索杨辉三角中行、列数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质之间联系，并能归纳这些数字规律；

3、会用数学归纳法及问题情景法证明发现的数字规律. 方法与过程：

1、培养学生独立思考与相互交流结合的意识，使学生基本掌握“观察——分析——猜想——证明”的科学研究方法；

2、利用简短的视频放映，向同学们简要介绍杨辉三角历史，提高同学们学习数学的乐趣，增强民族自豪感; 3、通过练习以及杨辉三角与纵横路线图，杨辉三角与弹子游戏，培养学生形成知识间相互联系的意识，并形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯，为进一步学习作好准备. 情感、态度与价值观：

1、了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国主义精神．

2、在知识的应用中，培养学生数学应用和科学研究的意识和能力，以及乐于探索、勇于创新的科学精神. 【教学重点、难点】

重点：杨辉三角的性质的发现

难点：引导学生发现杨辉三角中的行、列的数字规律

【教学方法与教学手段】

引导探索——合作交流——发现

计算机辅助教学

【教学过程】

复习回顾

简要回顾二项式定理，通项以及二项式系数相关概念. 一．本节知识点

1.杨辉三角：(a+b)2341

…………………………………………………1

1

(a+b)………………………………………………1

2

1 (a+b)……………………………………………1

3

3

1 (a+b)…………………………………………1

4

6

4

1

(a+b)………………………………………1

5

10 10 5 1

(a+b)………………………………………1

6

15 20 15 6 1

……………………………

65

第1 行 1 … …

…

…

1 第行 1 杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？（至少两点）

2.二项式系数的性质（用式子表示）

（1）（2）当（3）（对称性）

为偶数时，最大；当为奇数时，最大 （增减性与最大值）

（各二项式系数的和）

二、简单介绍杨辉——古代数学家的杰出代表

杨辉，杭州钱塘人. 中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多.

其中《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．

在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．

三．例题精选

例1.证明：在系数的和. 例2.已知求 变式：展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式.

，则________________________. 思路：赋值法

四、介绍杨辉三角的一些数字规律

1. 3. 2. 4.

五、杨辉三角与纵横路线图

“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处

(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？

六、杨辉三角与弹子游戏

如图的弹子游戏，小球

(黑色

) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？

莱布尼茨三角形

…………

将杨辉三角形中每一个数都换成分数，就得一个由分数组成的三角形（如上图，此图称为莱布尼茨三角形.它与杨辉三角形有相似的性质，即莱布尼茨三角形中的每一个数都等于其“脚下”两数之和，即

，此性质体现了数学的和谐美. 七、小结

1.杨辉三角与二项式系数，二项式系数的性质（函数思想）

2.杨辉三角的数字规律以及在生活中的应用

3.表扬学生独立思考与相互交流精神. 八、作业:

教辅练习——杨辉三角与二项式系数; 探究杨辉三角还有哪些性质. 九、板书设计

杨辉三角

有关数字规律：（请学生板书）

1、 2、

3、 4、