数学活动教学设计第二课时

反比例函数的图象与性质（教案）

赣州市南康区第五中学

刘忠斌

一、创设情境

引入课题

问题1.实验电路中总电压U、总电流I、总电阻R中哪些是会变化的，哪些是固定不变的？

问题2.实验中会变化的两个量有没有什么函数关系？

【归纳1】反比例函数的概念：

定义：形如ykx的函数称为反比例函数，其中

x 是自变量，y 是函数，自变量的取值范围是不等于

0 的一切实数．

注意：另外两种形式为y＝kx－1(k≠0)，k＝xy(k≠0)．

二、以题带点

题组训练

1.（2018·益阳市）若反比例函数y2mx的图象位于第一、三象限，则m的取值范围是

. 答案．m<2

【归纳2】反比例函数的图象与性质（位置特征）：

(1)当k＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x的增大而__减小__；

(2)当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x的增大而__增大__；

2．（2016•贵州）

已知：如图，反比例函数y=62x的图象与正比例函数y=3x的图象交于A、B两点，B点坐标为（﹣3，﹣2），则A点的坐标为

．

yAOxB

解：根据题意，知

点A与B关于原点对称，

∵点B的坐标是（﹣3，﹣2），

∴A点的坐标为（3，2）．

故答案是：3，2．

【归纳3】反比例函数的图象与性质（图象特征）：

（1）反比例函数的图象是双曲线，它既是

轴

图形，又是

中心

对称图形．其对称轴是直线y＝x和直线y＝－x，对称中心是

原点

；

（2）反比例函数的图象与正比例函数的交点关于原点对称．

3．（2017•河池）如图，直线y=ax与双曲线y=kx（x＞0）交于点A（1，2），则不等式ax＞kx的解集是

x＞1

．

解：∵直线y=ax与双曲线y=kx（x＞0）交于点A（1，2），

∴不等式ax＞kx的解集是x＞1，

故答案为：x＞1．

【归纳4】反比例函数与一次函数中的方程（不等式）的关系：

（1）找：交点坐标；

（2）看：看图象，上大下小；

（3）写：交点左侧部分用“

<

”表示，交点右侧部分用“

>

” 表示．

4．(2018·邵阳市)如图所示，点A是反比例函数ykx图象上一点，作AB⊥x轴，垂足为点B．若△AOB的面积为2，则k的值是_________．

yAOBx

答案：4

【归纳5】k的几何意义：

(1)过双曲线上任一点P(x，y)作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|x|·|y|＝|xy|＝__|k|__；

(2)连接PO，则S1k△POM＝S△PON＝2|k|.反比例函数yx的本质特征是两个变量y与x的乘积是一个常数k.

1

回味无穷

1.

反比例函数的表达式

2．反比例函数的图象性质

（1）反比例函数ykx

(k为常数，k≠0)的图象是__双曲线__；

（2）当k＞0时，双曲线的两个分支分别位于__第一、三__象限，在每个象限内，y值随x的增大而__减小__；

（3）当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于__第二、四__象限，在每个象限内，y值随x的增大而__增大__；

（4）双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形，两个分支都无限接近于__x轴、y轴__，但是永远不能与__x轴、y轴__相交．

（5）反比例函数的图象与正比例函数的交点关于原点对称.

3．反比例函数的几何意义

(1)过双曲线上任一点P(x，y)作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|x|·|y|＝|xy|＝__|k|__；

(2)连接PO，则S1△POM＝S△PON＝2|k|，

反比例函数ykx的本质特征是两个变量y与x的乘积是一个常数k. 4. 反比例函数与一次函数中的方程（不等式）的关系：

（1）找：交点坐标；（2）看：看图象，上大下小；

（3）写：交点左侧部分用

<

表示，交点右侧部分用

>

表示．

三、典例精析

释疑解惑

例1．

(2018·郴州市)参照学习函数的过程与方法，探究函数y= x2x(x≠0)的图象与性质．

因为y= x2x=1- 2x，即y=- 2x+1，所以我们对比函数y=- 2x来探究．

列表：

x …

-4 -3 -2 -1 -12

12

1 2 3 4 …

y= - 2x

…

12

23

1 2 4 -4 -2 -1 -23

-12

…

y= x23511x

…

2

3

2 3 5 -3 -1 0 3

2

…

描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y= x2x相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示．

(1)请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；

(2)观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当x＜0时，y随x的增大而

；(填“增大”或“减少”)

②

y=x2x的图象是由y=-2x的图象向

平移

个单位而得到；

③图象关于点

中心对称(填点的坐标) (3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y= x2x的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2的值．

解：(1)连线如图；

(2)①增大，②

上，1，③(0，1)；

(3)

解法一：

y1+y2=1-1+1-1=2-2(1xxx+1)=2-2×12x，

1x21x2x1x2x1+x2=0，y1+y2=2-2×0=2．

解法二：∵函数关于（0，1）对称，

∴（0，1）是对应点连线的中点.

根据中点坐标公式(x1x220,y1y221)，所以y1y2=2. 【归纳】主要数学思想：

数形结合思想，化归转化思想

2

例2.如图1，已知直线y=2x分别与双曲线y8kx、yx（x＞0）交于P、Q两点，且OP=2OQ．

（1）求k的值．

（2）如图2，若点A是双曲线y8x上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线ykx（x＞0）于点B、C，连接BC．设点A的横坐标为t，分别写出A、B、C的坐标，并求△ABC面积；

（3）在（2）的条件下，若点D是直线y=2x上的一点，请你进一步探索在点A运动过程中，以A、C、B、D为顶点，且以AC为一边的四边形能否为平行四边形．若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．

解：（1）过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，

过点P作PF⊥x轴，垂足为F，如图1，

联立8yx2x2x，解得：y2xy4或y4．

∵x＞0，

∴点P的坐标为（2，4）．

∴OF=2，PF=4．

∵QE⊥x轴，PF⊥x轴，

∴QE∥PF．

∴△OEQ∽△OFP．

∴OQOEQEOPOFPF．

∵OP=2OQ，

∴OF=2OE=2，PF=2EQ=4．

∴OE=1，EQ=2．

∴点Q的坐标为（1，2）．

∵点Q（1，2）在双曲线ykx上，

∴k=1×2=2．

∴k的值为2．

（2）如图2，

∵点A的横坐标为t，

∵点A在双曲线y8x上，

∴点A的坐标为（t，8t），

∵AB∥x轴，AC∥y轴，

∴xC=xA=t，yB=yA=8t．

∵点B、C在双曲线y2x上，

∴xB=t4，yC=2t．

∴点B的坐标为（t4，8t），点C的坐标为（t，2t）．

∴AB= t -t4=3t4，AC=826t-t=t．

∴S1163t9△ABC=2AB•AC=2t4=4．

（3）∵点D的坐标为（tt4，2），

∴DB=8tt2,

∵四边形ACBD是平行四边形，

∴AC∥BD，AC=BD．

∴8t6t2=t(t>0),解得t12，t227

∴点A的坐标为（2，4）或（27，47）

【归纳】主要数学思想：参数思想、方程思想，分类讨论思想

四、总结反思

提炼方法

1、反比例函数的表达式：

2、反比例函数的图象与性质：

（位置特征）知一推二

（图象特征）关于原点中心对称

3、反比例函数与方程（不等式）的关系

（1）找；（2）看；（3）写. 4. 反比例函数与一次函数中的方程（不等式）的关系：

（1）找：交点坐标；

（2）看：看图象，上大下小；

（3）写：交点左侧部分用

<

表示，交点右侧部分用

>

表示．

4、k的几何意义

5、四种数学思想：数形结合思想、转化化归思想、参数思想、方程思想. 6、方法:

一题多解. 3

五、课后延伸

达标检测

1．(2018·湖州市)如图，已知直线y＝k1x(k1≠0)与反比例函数y＝k2x(k2≠0)的图像交于M，N两点，若点M的坐标是(1，2)，则点N的坐标是(

) yMOxN

A．(－1，－2)

B．(－1，2)

C．(1，－2)

D．(－2，－1)

2．(2018·黄石市)已知一次函数y＝x－3和反比例函数y412＝x的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是(

) A．

x＜－1或x＞4

B．

－1＜x＜0或x＞4

C．－1＜x＜0或0＜x＜4

D．

x＜－1或0＜x＜4 3. （2019·江西创新联盟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OBDC的两边OB、OC分别在x轴和y轴上，点D在反比例函数y8x的图象上，反比例函数ykx的图象交DC、BD于点E、F.

(1)若CE：DC=1:4，求k的值；

(2)连接BC，EF，求证：EF∥BC

CyEDCyEDFF

OBx

OBx

第3题图

第3题图备用图

4.某校九年级数学小组在课外活动中，研究了同一坐标系中两个反比例函数：

yk11与yk2x2x(k2＞k1＞0 )在第一象限的图象性质，经历了如下探究过程：

【操作猜想】

（1）如图①，当k1=2，k2=6时，在y轴的正方向取一点A作x轴的平行线，交y1于点B，交y2于点C.

当OA=1时，AB=

，BC=

，BCAB=

；

当OA=3时，AB=

，BC=

，BCAB=

；

当OA=a时，猜想BCAB=

.

【数学思考】

（2）在y轴的正方向上任意取点A作x轴的平行线,交y1于点B、

交y2于点C, 请用含kBC1、k2的式子表示AB的值，并利用如图②加以证明；

【推广应用】

（3）如图③，若k2=12，

BCAB=12，在y轴的正方向分别取点A、D(ODOA)作x轴的平行线，交y1于点B、E，

交y2于点C、F，是否存在四边形ADFB是正方形? 如果存在，求OA的长；如果不存在，说明理由.

4