回顾与思考教学目标

相似三角形

——“K字型”相似模型

教学目标：

1、理解“K型图”的特征与其中两个三角形相似的条件，

2、利用“K型图”中两个三角形的相似性解决一些计算、证明等问题；

教学重点难点：

1、在已知图形中观察关键特征——“K型”；

2、在非“K型”图形中画辅助线，得到“K型”图形；

3、在“K型”图的两个三角形中，探索其相似条件。

教学过程：

一、前测练习

1.如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE ，交CD于F，连结BF，则 ∽

BDECA2.在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°,

则 ∽ 二、模型探究

课前完成填空，上课请学生回答答案，根据答案回答以下问题：

问题1判定这两个三角形相似的依据是什么？

学生答：两个角对应相等的两个三角形相似。

问题2图中已知角有什么共同特征？

学生答：图1中顶点共线三角都是直角，图2中顶点共线三角都是60°。

问题3若顶点共线三等角的度数不是90°也不是60°，对应两个三角形还相似吗？

图形演示，提问：此时这两个三角形相似吗？请同学们自己画图并证明。

请学生叙此时述证明过程：

已知：BADECn

求证：ABD∽DEC

证明：

Bn

BADADB180n

ADEn

CDEADB180n

BADCDE

BC

ABD∽DEC

（或者依据外角等于不相邻的两内角之和）

展示学生书写，教师分析，该同学找出的两三角形相似的第一个条件是（BC）

第二个条件是（BADCDE），他是怎么证明这两个角相等呢？方法1、外角等于不相邻的两内角之和；方法2、三角形的内角和等于平角求解，都可行。

问题4若保持共线三等角的度数不变，改变边的长度，对应两个三角形还相似吗？

学生答：相似。因为我们是依据两个角对应相等判定两个三角形相似的。

问题5由此你得到了什么结论？

学生答：只要满足共线三角的度数相等，则这两个三角形相似的。

问题6此图形形如英语字母谁？

学生答：字母K 教师答：我们就把这个基本图形叫做K字形，这是我们证明两三角形相似的一个基本图形。观察下图，请大家找出图中的对应边，由此可得到怎样的比例式？你能将该式转化为等积式吗？

通过刚才的研究发现，我们利用K型得相似，利用相似可得出边之间的关系。下面我们就一起来研究K字形在相似三角形中的应用。

三、模型运用（一）

例1如图，已知点A（0，4）、B（4，1），BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB．则点P的坐标为

是否符合K型特征？

一

线：

三

等

角：

相似三角形：

变式练习1如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB= AD=6,∠ABC=∠C=70°，点E、F分别在线段AD、DC上，且∠BEF=110°, 若AE=3，求DF的长 ．

处理方式：学生独立完成，请学生回答。

变式练习2如图，由8个大小相等的小正方形构成的图案，它的四个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上。若AB=4cm，BC=6cm，求DG的长 ．

DHG∽CGF，相似比为1:2 设DG=x,则CG=4-x,CF=2x BFE∽CGF，相似比为1:1 CG=BF=4-x BFCF6

4x2x6

x2

DG的长为2cm 处理方式：学生独立完成，利用投票器选择答案，利用统计图分析学生的完成情况，请学生回答。

教师总结：当两个三角形K型相似且相似比为1:1（或表述为有一组对应边相等）时，我们称这两个三角形为K型全等。

四、模型应用（二）

例2如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长．

是否符合K型图特征？

能否根据已知条件构造K型图？

怎么构造K型图？

学生答：过点D作DHBC交BC于点H。

为什么这样构造？

学生答：在直线BC上，BFED90，所以过D作DHBC，构造出一线三等角。

处理方式：引导学生分析构造K型图，留时间给学生书写。

变式训练3 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP=

是否符合K型图特征？

能否根据已知条件构造K型图？

怎么构造K型图？

为什么这样构造？

处理方式：抽学生回答答案。

变式训练4

(中考改变)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ADC =90°，∠B=120°，AD=3，AB=6．在AB上取点E，使得∠DEC=120°．则AE的长是______．

是否符合K型图特征？

能否根据已知条件构造K型图？

EB怎么构造K型图？

为什么这样构造？

处理方式：抽学生回答答案。

C

AD

五、灵活应用

如图，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

E

H

FANBGC

M

思路点拨：

条件1 AGBBAE90

结论1 在直线AG左侧构造K型图。

条件2 AGCFAC90

结论2 在直线AG右侧构造K型图。

条件3 EJAE1FKAF1，

AGACkAGABk结论3利用差型全等得出HE=HF。

处理方式：学生独立思考，小组讨论，成员展示，教师点评。

六、课堂小结

回想本节课，给你留下印象深刻的片段、环节是什么？请同学来分享一下。

七、板书设计