11.1 因式分解教学设计及教案分析

11.1因式分解

教学目标

1.了解多项式的因式分解的意义,知道因式分解与整式乘法之间的区别和联系.

2.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较,学习代数式的变形和转化与化归的能力,培养学生的分析问题能力与综合应用能力.

3.培养学生勇于探索的精神和实事求是的科学态度.

教学重难点

重点

：因式分解的概念和意义.

难点

：因式分解与整式乘法之间的区别和联系.

教学过程

一、课前导入

问题:：下列简便运算怎样进行? (1)736×95+736×5; (2)-2.67×132+25×2.67+7×2.67.

[设计意图]

观察实例,分析共同属性:解决问题的关键是把一个数式化成几个数的积的形式,此时学生对因式分解还相当陌生的,但学生对用简便方法进行计算相当熟悉.引入这一步的目的旨在设计问题情境,复习知识点与计算,引入新课,让学生通过回顾用简便方法计算,即为因式分解这一特殊算法,通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上,从而为因式分解的掌握和理解打下基础.

二、新知建构

活动一 感知因式分解

1.观察下面计算20112-2011×2010和372-362的过程,哪种更简便?

问题: (1)小明用的什么方法?(根据乘方的意义直接进行计算.) (2)小亮的第一个算式用了什么方法?(乘法对加法的分配律的逆用.) (3)小亮的第二个算式用了什么方法?(平方差公式.) 2.多项式的因式分解.

(1)观察下面三个算式: x(x-2)=x2-2x,(x+y)(x-y)=x2-y2,(x+1)2=x2+2x+1.

(2)上面三个算式能反过来,写成整式乘积的形式吗? 可以.x2-2x=x(x-2),x2-y2=(x+y)(x-y),x2+2x+1=(x+1)2.

3.总结因式分解的概念.

像这样,把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,叫做多项式的因式分解,也叫做将多项式分解因式,其中每个整式都叫做这个多项式的因式.

活动2

整式的乘法与因式分解的关系

1.感知整式的乘法和因式分解的关系

计算下列式子.

(1)3x(x-1)=

;

(2)m(a+b-1)=

;

(3)(m+4)(m-4)=

;

(4)(y-3)2=

;

根据上面的算式填空.

(1)3x2-3x=

;

(2)ma+mb-m=

;

(3)m2-16=

;

(4)y2-6y+9=

.

思考:因式分解与整式的乘法有什么关系?举例说明.

[设计意图]

通过两组互逆关系的练习,类比两种不同的逆运算,进一步让学生体会什么是分解因式,这个时候,分解因式的概念已基本在学生头脑中确立.由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解,发展学生的逆向思维能力.

2.总结多项式的乘法和因式分解的关系

(1)多项式相乘的结果是什么? (两个多项式相乘的结果是一个多项式,相乘的过程是多项式中的单项式与单项式相乘.) (2)一个多项式进行因式分解的结果是什么? (将一个多项式进行因式分解的结果是若干个整式的乘积,因式分解的过程是这个多项式分解成若干个整式乘积的形式.) (3)因式分解和整式的乘法之间是什么关系?

多项式的因式分解与乘法运算是不同的.多项式的因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积,而多项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式.可见,多项式的因式分解与多项式的乘法运算是相反的变形过程,如图所示.

活动3

做一做

1.下列各式中,从等号左边到右边的变形,哪些是多项式的因式分解? (1)x2-4=(x+2)(x-2); (2)x2+4x+4=(x+2)2; (3)7m+14n=7(m+2n); (4)x(y+1)=xy+x.

处理方式:教师指导、学生交流合作完成.

答案:(1)(2)(3)是,(4)不是.

2.下列对多项式的变形,哪些是因式分解?是因式分解的,指出它的各因式.

(1)x2-x=x(x-1); (2)10x+5y=5(2x+y); (3)a2-1=(a+1)(a-1); (4)x2-2x+1=(x-1)2.

处理方式:教师指导、学生交流合作完成.

答案:(1)(2)(3)(4)都是.(1)中的因式为x,x-1;(2)中的因式为5,2x+y;(3)中的因式为a+1,a-1;(4)中的因式为x-1,x-1.

[知识拓展]

对于因式分解应注意以下几点:(1)分解的对象必须是多项式;(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;(3)要分解到不能再分解为止.

三、课堂小结

1.把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式. 2.分解的对象必须是多项式.2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. 3.分解因式与整式乘法是互逆过程.

四、检测反馈

1.各式从左到右的变形中,是因式分解的为 (

) A.x(a-b)=ax-bx

B.x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2

C.x2-1=(x-1)(x+1) D.ax+bx+c=x(a+b)+c

解析:由因式分解的定义知,左边是多项式,右边是因式分解乘积的形式.故选C. 2.若6x2+ax+10=(3x+2)(2x+5),则a=

.

解析:根据因式分解与整式乘法是互逆运算的关系,本题可先将(3x+2)(2x+5)展开,得到一个二次多项式,再与6x2+ax+10比较可得a

的值,(3x+2)(2x+5)=6x2+4x+15x+10=6x2+19x+10,因为6x2+ax+10=(3x+2)(2x+5),所以a=19.故填19.

3.若42x2-31x+2能分解成两个因式的乘积且有一个因式为6x-4,设另一个因式为mx-n,其中m,n为常数,请你求出m,n的值.

五、板书设计

11.1

因式分解

活动1

感知因式分解

活动2

整式的乘法与因式分解的关系

活动3

做一做

六、布置作业

必做题：教材第143页练习的第1,2题.

选做题：教材第143页习题的第2题.