30.5 二次函数与一元二次方程的关系教学设计范文

30.5 二次函数与一元二次方程的关系

枣强县第三中学

王文端

1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点) 2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)

一、情境导入

小唐画y＝x2－6x＋c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少？

二、合作探究

探究点一：判断二次函数图象与x轴交点个数

【类型一】

二次函数图象与x轴交点情况判断

下列函数的图象与x轴只有一个交点的是(

) A．y＝x2＋2x－3

B．y＝x2＋2x＋3 C．y＝x2－2x＋3

D．y＝x2－2x＋1 解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点．故选D. 【类型二】

利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴

如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．

解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，∴其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2. 方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．

【类型三】

利用抛物线与x轴交点情况确定字母取值(范围) 1

若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为(

) 2A．0

B．0或2 C．2或－2

D．0，2或－2 解析：若m≠0，根据二次函数与x轴只有一个交点，利用一元二次方程根的判别式为零来求解；若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点．当m≠0时，Δ＝(m＋2)2

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1－4m(m＋1)＝0，解得m＝2或－2；当m＝0时，原函数是一次函数，图象与x轴只有一个2交点，所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点．故选D. 方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点，当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点，当b2－4ac＜0时，图象与x轴没有交点．

探究点二：二次函数图象与x轴的交点坐标与一元二次方程根的关系

已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为________．

解析：因为抛物线经过点(3，0)，所以x＝3，y＝0是该函数的一组对应值．将x＝3，y＝0代入函数表达式，得0＝－32＋2×3＋m，解得m＝3.所以一元二次方程为－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 方法总结：本题先求出m的值，从而写出一元二次方程，然后解这个一元二次方程得出其解．也可以由图象得抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点为(3，0)．根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点为(－1，0)，则(3，0)和(－1，0)两点的横坐标就是所求方程的根，即x1＝－1，x2＝3. 探究点三：利用二次函数求一元二次方程的近似解

利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根(精确到0.1)．

解析：对于y＝－x2＋2x－3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．

解：在平面直角坐标系内作出函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图．由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．

(1)先求在－2和－1之间的根，利用计算器进行探索：

x y －1.1

－6.41

－1.2

－6.84

－1.3

－7.29

－1.4

－7.76

－1.5 －8.25

因此x≈－1.4是方程的一个实数根；

(2)另一个根可以类似地求出：

x y

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3.1

－6.41

3.2

－6.84

3.3

－7.29

3.4

－7.76

3.5 －8.25

x≈3.4是方程的另一个实数根．

方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y＝h的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根．

三、板书设计

1.与x轴交点的情况判断2.确定一元二次方程的解和解的与一元二

情况、确定对称轴和字母系数次方程

的取值范围二次函数

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系．

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