2.2.3 两条直线的位置关系教案设计（一等奖）

第二节

两条直线的位置关系

成都市洛带中学校 尹明泽

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考纲要求

1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．

2．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．

3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

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知识梳理

一、直线与直线的位置关系

1．平行与垂直．

(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则

①直线l1∥l2的充要条件是______________．

②直线l1⊥l2的充要条件是__________．

(2)若l1和l2都没有斜率，则l1与l2________________. (3)若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则_____________．

2．两直线相交．

A1x＋B1y＋C1＝0，若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A2x＋B2y＋C2＝0

的解一一对应．

相交⇔__________________________________；

平行⇔__________________________________；

重合⇔__________________________________. 二、点与直线的位置关系

若点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，则有Ax0＋By0＋C＝0；若点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，则有Ax0＋By0＋C________0. 三、两点间的距离公式

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝________________. 四、点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离

d＝________________________. 两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0和l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离：d＝______________. 五、中点坐标公式

1

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点

P(x0，y0)的坐标公式为

________________________________________________________________________. 六、对称问题

1．中心对称问题：点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．

设P(x0，y0)，对称中心为A(a，b)，则P关于A的对称点为P′(________，________)．

2．点关于直线成轴对称问题．

由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”、“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标．一般情形如下：

设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有

y′－yx′－x·k＝－1，y′＋yx′＋x＝k·＋b，220000

可求出x′，y′. 特殊地，点P(x0，y0)关于直线x＝a的对称点为P′(2a－x0，y0)；

点P(x0，y0)关于直线y＝b的对称点为P′(x0，2b－y0)；

点P(x0，y0)关于直线x－y＝0(即y＝x)的对称点为P′(y0，x0)；

点P(x0，y0)关于直线x＋y＝0(即y＝－x)的对称点为P′(－y0，－x0)．

3．曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题．

一般是转化为点的中心对称或轴对称(这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化)．

一般结论如下：

(1)曲线f(x，y)＝0关于已知点A(a，b)的对称曲线的方程是f(2a－x,2b－y)＝0. (2)曲线f(x，y)＝0关于直线y＝kx＋b的对称曲线的求法：

设曲线f(x，y)＝0上任意一点为P(x0，y0)，点P关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x，y)，则由上y－yx－x·k＝－1，面第三点知，P与P′的坐标满足y＋yx＋x＝k·＋b，220000

从中解出x0，y0，

代入已知曲线f(x，y)＝0，应有f(x0，y0)＝0.利用坐标代换法就可求出曲线f(x，y)＝0关于直线y＝kx＋b的对称曲线方程．

4．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：

(1)点(x，y)关于x轴的对称点为________；

(2)点(x，y)关于y轴的对称点为________；

(3)点(x，y)关于原点的对称点为________；

(4)点(x，y)关于直线x－y＝0的对称点为________；

2

(5)点(x，y)关于直线x＋y＝0的对称点为________．

自我校对：

一、1.(1)①k1＝k2且b1≠b2

②k1·k2＝－1 (2)平行或重合

(3)l1⊥l2

2．方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解

方程组无解

方程组有无穷多个解

二、≠

三、x2－x12y2－y12

|Ax0＋By0＋C||C2－C1|x1＋x2y1＋y2四、

五、x＝，y＝

0022A2＋B2A2＋B2六、1.2a－x0

2b－y0

4.(1)(x，－y) (2)(－x，y) (3)(－x，－y) (4)(y，x) (5)(－y，－x) 

典例精讲

例题1．(2013·四川卷)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．

解析：直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，

y－2＝2由y－5x－1x－1

得M(2,4)．

答案：(2,4)

变式1．(2013·山东淄博上学期期末)“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋2＝0与直线3x＋my＋3＝0垂直”的(

) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

11解析：当2m－1＝0，即m＝时，两直线方程为x＝－4和3x＋y＋3＝0，此时两直线不垂直．当m＝0221m2时，两直线方程为y＝2和x＝－1，此时两直线垂直．当m≠0且m≠时，两直线方程为y＝x＋21－2m1－2m33m3m3和y＝－x－，两直线的斜率为，－，要使两直线垂直，则有×－＝－1，解得m＝－1，所mm1－2mm1－2mm以直线mx＋(2m－1)y＋2＝0与直线3x＋my＋3＝0垂直，则有m＝－1或m＝0，所以m＝－1是两直线垂直的充分不必要条件，选A. 答案：A

3

例题2．设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0. (1)证明：l1与l2相交；

(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x＋y＝1上．

证明：(1)(反证法)假设是l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k1＋2＝0；这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．

y＝k1x＋1， (2)(法一)由方程组y＝k2x－1，222

解得交点P的坐标为而2x＋y＝222222，k2＋k1，

k2－k1k2－k122＋k2＋k12＝

k2－k1k2－k1228＋k2＋k1＋2k1k2k1＋k2＋4＝22＝1. 2k2k1＋k2＋42＋k1－2k1k2此即表明交点P(x，y)在椭圆2x＋y＝1上．

y－1＝k1x，(法二)交点P的坐标(x，y)满足y＋1＝k2x.22

故知x≠0.从而y＋1k＝x.2y－1k1＝，x

代入k1k2＋2＝0，得22y－1y＋1·＋2＝0. xx整理后，得2x＋y＝1，

所以交点P在椭圆2x＋y＝1上．

变式2．平面上有三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的取值集合为____________．

答案：{0，－1，－2}

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课后巩固练习

1．(2013·汕头二模)过点A(1,2)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(

) A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0 1解析：因为直线2x＋y－5＝0的斜率等于－2，故所求的直线的斜率等于，故过点A(1,2)且垂直于直21线2x＋y－5＝0的直线方程为

y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.故选C. 2答案：C

4

2．(2012·阳江模拟)已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为(

) 1A.

2C．2

解析：点A(0,3)，B(－1,1)在直线l1上，则点A，B关于直线y＝－x的对称点A′(－3,0)，B′(－1,1)1－01在直线l2上，故直线l2的斜率k＝＝. －132答案：A

3．若点P(a,3)在不等式2x＋y＜3所表示的平面区域内，且点P到直线2x＋y＝3的距离为2，则a的值为_________．

2a＋3<3，解析：依题意，得|2a＋3－3|＝2，5答案：－5

4. 已知直线l与直线x－y＋2＝0平行，且它们之间的距离为32，则l的方程为________．

解析：设与直线x－y＋2＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，

|2－m|根据平行线间的距离公式，得＝32，∴|2－m|＝6. 2∴m＝－4或m＝8，即所求的直线方程为x－y－4＝0或x－y＋8＝0. 答案：x－y－4＝0或x－y＋8＝0

1B．－

2D．－2

由此题得a＝－5.

5