2.基本不等式第二课时教案

关于高三基本不等式复习的例题设计

湖南衡阳

刘喜

2015.10

复习目标：

1.了解基本不等式的证明过程；

2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3.通过具体题目进一步掌握分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想、换元思想、整体思想等重要的数学思想. 重点难点：

重点：应用基本不等式求函数的最值. 难点：通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设应用基本不等式的情境.

一、基础回顾

如果a,b是正实数 ，那么abab，当且仅当

a=b

时取“=”号. 2二、公式运用：和定积最大, 积定和最小

利用基本不等式求最大（小）值问题时要抓住“一正、二定、三相等”.“一正”就是要求a,b都为正数；“二定”就是要求和a+b或积ab必须是定值；“三相等”就是看等号能否成立.三个条件缺一不可. 三、几个重要的不等式

（1）a2+b2澄2aba,b(baR)

（2）+?2(ab0)

ab骣a+b琪 （3）ab＃琪2桫四、例题精析

2a2+b2a,b?R)

(2例1、（1）（2014.上海）若实数x,y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为

.

（2）（2014.山西一模）在等差数列{an}中an>0，且a1+a2+鬃?a10=30,则a5a6的最大值为

.

解：（1）由基本不等式可得：x+2y匙2x当且仅当x=2y，即x=2,y=22222222y2=22(xy)=1，

2时，“=”成立！\22(x)2+2y2)min=22

（2）由已知可得：a1+a10=a2+a9=鬃?a5+a6，

\5a5+a6=30,

即

a5+a6=6，又(an>0，由基本不等式可得：a5a6?a5+a623，即a5a6£9，

当且仅当a5=a6=3时，“=”成立！\ (aa)56max=9

【设计意图】：通过例1快速唤起学生对于应用基本不等式求最值的记忆，强调利用基本不等式求最值需满足：“一正”，“二定”，“三相等”。

【变式训练1】

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（1）求函数f(x)3lgx4（x0,且x1）的取值范围；

lgx51,求4x2的最大值；

44x522（3）求ysinx的最小值. 2sinx（2）已知x解：（1）当x1时，lgx0,f(x)32lgx47，

lgx当且仅当lgx=4时，即x100时“=”成立.

lgx当0

lgxlgx当且仅当-lgx=-4时，即x102时“=”成立.

lgx综上可得函数f(x)的范围为(-,1][7,).

另解：

|lgx44||lgx|4,当且仅当|lgx|=2时“=”成立. lgx|lgx|

【要点归纳】：利用基本不等式求最值时,各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.

1、求函数f(x)3lgx4（x0,且x1）的最值. lgx解

当x1时，lgx0,f(x)32lgx47，当且仅当lgxlgx=4时，即x100时“=”成立.

lgx当0

lgx44)]32(lgx)()1，当且仅当lgxlgx-lgx=-综上可得函数的值域为(-,1][7,).

另解

|lgx44||lgx|4,当且仅当|lgx|=2时“=”成立. lgx|lgx|第

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例1、

已知x1,求x1的最小值以及取得最小值时x的值. x1解：由于x1,x10,x当且仅当(x1)=111(x1)12(x1)13.

x1x1x11时“=”成立，于是x2或x（舍去）0.

x1所以最小值为3，取得最小值时x的值为2.

要点归纳：通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.

变式练习2、已知x<51,求y=4x2的最大值. 44x5511解：由于x,5-4x>0.

y=4x-2+=-(5-4x)+3-2+3=1.

44x554x1当且仅当5-4x=,即x1时“=”成立.

54x所以当x=1时y取得最大值为1.

例3、

判断下列推理是否正确：求ysinx22的最小值. 2sinx2错误解法

由于sin2x0,sin2x0,y2sinx22sinx2.所以2y的最小值为22. 2正确解法

令tsin

t1时y取得最小值3，x则,<0t，1易知y在t(0,1]上为减函数，所以y的值小值为3.

要点归纳：由此看来在应用基本不等式求最值时“=”是否成立很关键！

变式练习3、求函数y=x23x22的最小值. 解：y=(x22)1x22x221x22,

令t=x22,则t2

132易知yt在t[2,)上为增函数，

t2，即x=0时y取得最小值，t2所以y的值小值为32.

2191，求xy的最小值. xy例4、

已知x0,y0，且错解：1191962=,xy6,xy2xy12,xy的最小值为12.

xyxyxy第

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解法1（整体代换法）x+y=(19y9x)(xy)1010616,

xyxyy9x19当且仅当=时“=”成立,又1，所以x=4,y=12时x+y取得最小值16.

xyxy解法2（变量代换函数法）由1x99x1得y,又x0,y0,x1,

yx1xyx9x999x9x11061016.当且仅当x1，即x=4时“=”x1x1x1x1号成立. 所以xy的最小值为16. 解法3（三角换元法）由题意设1919,y，sin2,cos2,（0）即x222sincosxy19sin2cos29sin29cos2cos29sin216,当且仅所以xy=10+sin2cos2sin2cos2sin2cos2cos29sin21322sincos当时“=”成立，即，时xy取得最小值16. 2244sincos要点归纳：当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能使等号成立，并且要保证取等号的条件的一致性，否则就会出错！

变式练习4、已知a0,b0,且a2b2,求t11的最小值. ab2ba1111b2a1时“=”成立，又b)()(3）（32）2，当且仅当解

t(a2ab2ab2ab2a+2b=2，所以仅当a22-2,b=2-2时t取得最小值四、课堂练习

1、

下列函数中最小值为4的是（

C

）

322.

2A.yx44

B.ysinxxsinxabx3(0x

)C.y4exex

D.ylo3glxog(0x

1)2、

若ab2，则33的最小值是（

B

）

A.18

B.6

C.23

D.243

x26x14(x1)的最小值是

10 .

3、函数yx14、已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,则xy的最大值是

18 . abb21,求a1b2的最大值.(提示：由ab5、已知a,b(0,),a想到….) 222第

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1b2ab2321b2221222解：a1b2a()2.当且仅当a=时“=”成立，

2224222b23232又a1，且a、b(0,)，所以当a=,b时，a1b2取得最大值.

22242b2另解：由a1得b2=22a2，又a20,b20,0a21,

2239332a1b2a2(32a2)2(a2)2,当a2时取得最大值.

4448aba2b26、（探究题）已知a0,b0,且ab1.（联想到常见不等式ab）

22（1）求2a12b1的最大值；

（a+（2）求11)(b+)的最小值. ab2a12b1=8,

22解

（1）解法1（2a12b1）=2a+1+2b+1+2(2a1)(2b1)4+21当且仅当2a+1=2b1即a=b=时等号成立.

2(2a1)2(2b1)2解法2：2a12b1222，

21当且仅当2a12b1即a=b=时等号成立.

2所以2a12b1的最大值为22.

（2）错误解法

原式=(ab1ba)()224.（等号不成立）

ababa21b21a2b2a2b21a2b2(ab)22ab12ab2，

正确解法

原式=abababab又由ab1得0

，从而当ab原式取得最小值为4442五、课堂小结

(1)公式的条件:正、定、等; (2)构造“和为定值”或“积为定值”求最值. 六、课后作业

82的最小值；

mn122、求函数y=-x2x2的最大值. x2x31、已知m>0,n>0,m+n=1,求第

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