2.基本不等式优秀教案范文

均值不等式的应用（文科）

教学目标：深刻理解均值不等式的作用，能运用均值不等式求二元函数的最值．

重点和难点：改变表达式结构

课时数：２节

１.引入问题：在半径为4的半圆(球)内,作一内接矩形(体),求所作矩形(体)的最大面(体)积. [均值不等式是求多元函数最值问题的重要工具！]

２.知识梳理：.基本不等式：若a,bR,则a2b22ab (当且仅当ab时取等号)；

abab (当且仅当ab时取等号)；

2如：已知a,b,m,nR,mn1,比较manb与manb的大小,并说明理由. S推论2(最值定理)：若a,bR, 当abS(定值),则ab()2(当且仅当ab时2取等号)；当abP(定值),则ab2P (当且仅当ab时取等号)；

推论1(均值定理)：若a,bR,则①

介绍用均值不等式求最值的方法：

11的最小值为：

；

ab(ab)a1111解：a2abab(a2ab)ab224

ab(ab)a(ab)aab42）.若ab0,求a2的最小值；

(ab)b如：1）.

若ab0,则a2求多元函数的值域问题一般首先考虑用恒等变形(等式)化多元为一元,其次用非恒等（不等式）变形消元

abb(ab)b2a2解法1：(ab)b()()；(当且仅当216取等号) 22a2a44解法2：a2=((ab)b)2(2(ab)b)2, (ab)b(ab)babb4

(当且仅当取等号)；

44(ab)b(ab)b(ab)b②推论2在使用中的易错点(‘一正,二定,相等’)：

a2b2ab2ab,(a,bR),

推论3(均值不等式)：1122ab(当且仅当ab时取等号)；

*均值不等式的作用是改变表达式的结构形式,并在结构变换中不改变指数次数.

３.教学过程：

51的最大值；

44x51x21[点拨：”"x"""型,可用”最值定理”直接求最值!]

xx例１：

1) 已知求x,求函数y4x2

1/3

2)

设x,yR,求

练习：

4x2y21xy的最小值；

1.

若x,yR满足x26xy10,求x2y的最小值.{

2.

在等比数列{an}中a22,求{an}的前三项和S3的取值范围.

3.

某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金,某顾客要购买10g黄金,售货员先将5g的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金

A．大于10g

B．小于10g

C．大于等于10g

D．小于等于10g

4.

若a,b,cR,且abc

例２：已知ab0,求

练习: abc1.

若f(x)ax2bxc(ab)对一切xR恒有f(x)0,求M的最小值；

ba22} 31,求(ab)(ac)的最小值;

abcab的最小值. a2bab

例３：1)若x,yR,求

y22)

若x,y,zR,x2y3z0,求的最小值；

xzxy的最小值；

x22xy

[点拨：分子与分母为齐次式,其比值定为常数,称”

练习：

1.

若ab2,(b0),当a

时,

例４：1）若a,bR,求(ab)()的最小值；

9a4bx齐次型”]

x1|a|取得最小值.

2|a|b2/3

2）已知x,yR,且1,求xy的最小值；

3) 已知0x1,求

练习：

1.

若x,yR,且x2y3,求的最小值；

2.

若x,yR,且

3.

在491中的（

( )( )1x11,求2xy的最小值；

y15x2y1x9y19的最小值；

x1x）处分别填上一个正整数,并使它们的和最小,则它们分别是

,

；

4.

若x,yR,2x8yxy0,求xy的最小值；

5.

设x,yR,且x2y3,若xy(2xy)a对任意x,y恒成立,求a的取值范围；

6.

若x,yR,且xy10,求xy的最大值；

7.

设x,yR,且xy3,0z2.则1x22的最小值为: . (2z)yzy1x9y3/3