小结教学评价实录

§2.2.2

研究性课题：“杨辉三角”中的一些秘密

云南师范大学实验中学

冷天存

【教学目标】

1. 理解杨辉三角的性质以及恒等式问题. nrrr1r12.掌握有关杨辉三角的基本性质CrnCn,CnCnCn1. 【教学重难点】

重点：杨辉三角性质大探索和发现

难点：性质的证明

【设计意图】杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，它与整数的整除理论.排列组合知识、概率等知识结合起来，形成丰富多彩的数学问题，研究和探索杨辉三角的一些性质，对于发现某些数学规律是大有裨益的.对于培养学生的创新思维能力也是不无帮助的. 从特殊到一般的先猜后证是突破难点的有效方法. 【学法分析】建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.由于杨辉三角中的许多有趣的数量关系不是轻易发现的，而简单的告诉和求证又显得十分枯燥无味，学生的发现、探索精神和能力的培养受到了一定的限制，我们利用建构主义观点中，学生主动探索，发现和证明(失败时总结经验，另寻他路，重新启动，走向成功)的全程的尝试是最为主要的，这样不是被动的接受，而是主动的建构，学生的认知结构得到了较好的发展和培养，他们不仅学会了知识而且还学会了如何面对困难、克服困难，走向成功的高峰的非智力因素的调节作用，要求同学们不仅是个体参与，而且是集体参与，智力参与.

【教学设计】

一．情境引入

再次观察“杨辉三角”。，研究睡姿排列规律.

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【设计意图】杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，它与排列组合知识、概率等知识结合起来，形成丰富多彩的数学问题，研究和探索杨辉三角的一些性质，对于发现某些数学规律是大有裨益的.对于培养学生的创新思维能力也是不无帮助的.

我们便可以得出：杨辉三角中，从一个数的“左肩”出发，向右上方作一条和左斜边平等的直线，位于这条直线上的各数的和等于这个数.图中所表示的就是10=4+6=4+(3+3)=4+［3+(2+1)］，

即1+2+3+4=10. 你们能将这个规律推广吗？

二．归纳探索，提炼，总结

将上面的规律推广，我们可以得到普遍规律：在杨辉三角中，第m条斜线(从右上到左下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的第n个数. 由此可以根据这一性质，请猜想下列数列的前n项和：

1+1+1+…+1=

，

1+2+3+…+C1n1

=

，

2C1+3+6+…+n1=

，

3C1+4+10+…+n1=

，

第1个结果是n，

第二个是1+2+3+…+(n－1)=22第三个是：C22C3C42C532C2CCn155n(n1)

232C2n1C4C4

322C2n1C3C3C4C2n123C3CCn1n1nn(n1)(n2). 633第四个是C3CC34543C3n1C6C6433C3CCCn144534C4n1Cn1Cn53C3CCn1554 n(n1)(n2)(n3)

24问题1：上述四个和式是刚才我们推广结论的特例，你们能用和式写出上述等式吗？

C3n1rr一般地，我们有：CrrCr1Cr2r1Crn1Cn(nr).

问题2：你们有哪些方法可以证明它呢？

我可以用数学归纳法证明它.

2

法一：数学归纳法

1121（1）当n2时

r1，左边C1C21，等式成立；

1，右边C2（2）假设当nk(kr)时，等式成立

rr

即CrrCr1Cr2k1Crk1Ck

rr1kr1CrCCCCk1(k1)1kkk1

rr当nk1时 CrCCrr1r2综合（1）、（2）可知，等式对n2的所有自然数，等式都成立。

法二：借助二项恒等式进行证明

r1r1因为CrnCnCn1

rr CrCCrr1r2Crn1Crn11rr(Crr1Cr1)Cr21r所以(Crr2Cr)Crn1

1rCrn1Cn11Crn

【小结】

性质1.

在杨辉三角中，第m条斜线(从右上到左下)上前n个数字的和，等于第m+1条rr斜线上的第n个数.

CrCCrr1r2r1CrCn1n(nr)

根据杨辉三角的对称性，类似可得：

性质2. 在杨辉三角中，第m条斜线(从左上到右下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的第n个数. rr即C0rCr1Cr2nr1r1CnCn(nr)

1n

三．拓展、应用：

如图的斜线中，前几行数字的和已经在行末标出，请你在“?”处标出其余各行的和，仔细观察这些和，你能发现什么规律吗？

前12项分别为：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144. 根据这些数的规律，任何一个数都等于它前面的两个数之和，即an2an1an,a1a21

(n∈N*).

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这种数列是斐波那契数列.

问题1.你能求出它的通项公式吗？

问题2.用特征方程根求出它的通项公式.事实上，因为an2an1an,a1a21的特征方程是x2x10，其根为x1,215

2∴{an}的通项公式设为an=c1x1n+c2x2n

即an=c1·(15n15n)+c2·()(c1，c2是待定系数) 22∵a1=1，a2=1，

1515①

cc11222∴

c(15)2c(15)21②

1222①×15151515215－②得：c1［·－()］=－1 222225(51)(51)

c122∴∴c1=5. 5∴c21515151

1225251

5∴c2=－∴an

115n115n()()(n∈N*). 22554

∴斐波那契数列a1=1，a2=1，an+2=an+an+1，

它的通项公式为an四、课堂小结

1.杨辉三角蕴含的基本性质；

2.杨辉三角蕴含的数字排列规律；

课后拓展题：

提示：斐波那契数列的前20项是，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，600，977，1577，2554，4131，6685.a5=5，a10=55，a15=600，a20=6685.这四个数都能被5整除，猜想：a5n都是5的倍数.(n∈N*). 证明方法有两种：一是数学归纳法；二是递推法.

板书设计

§2.2.2研究性课题：杨辉三角(二) 性质1. rr(1)

CrrCr1Cr2r1Crn1Cn(nr)

115n115()()(n∈N*) 2255(2)an+2=an+an+1，a1=a2=1.

性质2. 求an的通项公式. 特征方程根求法：x2－x－1= 0 x15nn,anc1x1c2x2.

2待定求出c1、c2.

课后反思：研究型课程，关键在于认真观察，缜密推理.

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