二 综合法与分析法第一课时教学实录

1.5.1

1.5.2

不等式的证明方法（一）

教学目标：了解证明不等式的最基本的基本方法即比较法、综合法、分析法. 教学重点、难点：分析法

教学过程：

一、情景引入：

不等式历来是高考的重点内容。对于本节来讲，复习有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。要在思想方法上下功夫。

.要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

abab0

abab0

abab0

比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。

综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。

所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。

二、精讲精练：

ab例1、

设a>0，b>0，求证：≥ab。

ba分析：当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。

解：左-右=abbaababababbbaa(ab)(1b1a)(ab)abab

(ab)2≥0 ∴

左≥右 即原不等式成立. 点评：⑴做差；变形整理；判断差式的正负，该法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明.⑵本题中应注意做差后分组的原则，是以提取公因式从而判定差式的结果是大于零还是小于零为目的. 变式训练1：课本P24练习第7题. anbncn,

例2：已知a,b,c为正数，n是正整数，且f(n)lg3求证：2f(n)f(2n).

anbncnanbncn分析：由2f(n)2lglg,33

a2nb2nc2nf(2n)lg.3比较两个真数联想到可用基本不等式来证明. 2anbncnanbncn证明：2f(n)2lglg33a2nb2nc2n2anbn2bncn2cnanlg.9又2anbna2nb2n，2bncnb2nc2n，2cnanc2na2n，将上面三个不等式相加，得2anbn2bncn2cnan（2a2nb2nc2n）.a2nb2nc2n2anbn2bncn2cnan2f(n)lg9a2nb2nc2n（2a2nb2nc2n）lg9a2nb2nc2nlgf(2n).3点评：本题采用采用的是把几个不等式相加（或相乘）的方法，这是综合法证明不等式时常用的变形方法.

变式训练2：课本P27练习第2题.

例3：已知△ABC的三边长为a,b,c,三内角为A,B,C.

2因为a、b、c0,ABC,欲证原不等式成立，则只需证3先证前一个不等式，只需证ABC（abc）aAbBcCABC（abc）2A(bc2a)B(ac2b)C(ab2c)0.求证：即证A(ba)A(ca)B(ab)B(cb)C(ac)C(bc)0.

即(ab)(BA)(ca)(AC)(bc)(CB)0.不妨设abc,则ABC.(ab)(BA)0;(ca)(AC)0;(bc)(CB)0.①式成立，同理可证第二个不等式成立.因此原不等式成立.①分析：本题是一个连锁不等式，也应该用逐步分析的方法分别证明，但要注意隐含条件ABC.

证明：因为a、b、c0,ABC,欲证原不等式成立，则只需证3先证前一个不等式，只需证ABC（abc）aAbBcCABC（abc）2A(bc2a)B(ac2b)C(ab2c)0.即证A(ba)A(ca)B(ab)B(cb)C(ac)C(bc)0.

即(ab)(BA)(ca)(AC)(bc)(CB)0.不妨设abc,则ABC.(ab)(BA)0;(ca)(AC)0;(bc)(CB)0.①式成立，同理可证第二个不等式成立.因此原不等式成立.点评：本题出题角度比较新颖，能力要求较高，三角形的边角问题一般用正弦、余弦定理进行转化变形，然而本题并没有三角函数，所以想到ABC.，再利用求差比较法证明。

变式训练3：课本P27练习第6题. 三、课堂小结

1. 证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法. 2.

在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用

四、布置作业

课本P31习题1-5第2，3，7题. 课外参考：已知a＞0，b＞0，且a+b=1。求证：(a+证法一：(分析综合法) 欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，

即证ab≤①2511)(b+)≥. ab41或ab≥8.

41，从而得证. 4∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立

∵1=a+b≥2ab，∴ab≤证法二：(均值代换法)供参考

设a=11+t1，b=+t2. 2211，|t2|＜

22∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜

11a21b21(a)(b)abab1111(t1)21(t2)21(t1t121)(t2t221)42241111t1t2(t1)(t2)2222115

(t1t121)(t2t221)(t22)2t22444112t2t2244253225t2t242516216.1142t244显然当且仅当t=0，即a=b=证法三：(比较法）

1时，等号成立. 21

4∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤1125a21b21254a2b233ab8(14ab)(8ab)(a)(b)0ab4ab44ab4ab

1125(a)(b)ab4证法四：(综合法) ∵a+b=1，

a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤1. 4252(1ab)12139(1ab)1251621ab1(1ab)

14416ab4 4ab1125即(a)(b)

ab4证法五：(三角代换法）供参考

∵

a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，11112(a)(b)(sin2α)(cosα)absin2αcos2αsin4αcos4α2sin2αcos2α2(4sin2α)2164sin22α4sin22αsin22α1,4sin22α413.42sin22α16252225(4sin2α)11244sin2αsin22α41125即得(a)(b).ab42) 2