2.2.2 反证法优秀教案设计

2．2.2 反证法

反证法

[提出问题] 著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”

问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？

提示：运用了反证法的思想．

问题2：反证法解题的实质是什么？

提示：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．

[导入新知] 1．反证法

假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．

2．反证法常见的矛盾类型

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．

[化解疑难] 1．反证法实质

用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用以下框图表示：

肯定条件p，导致逻“p且綈q”“若p，则―→―→―→

否定结论q辑矛盾为假q”为真2．反证法与逆否命题证明的区别

反证法的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“p⇒q”与“綈q⇒綈p”是等价命题，通过证明命题“綈q⇒綈p”为真命题来说明命题“p⇒q”为真命题，证明过程不出现矛盾．

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用反证法证明否定性命题

[例1] 设函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．

求证：f(x)＝0无整数根．

[证明] 假设f(x)＝0有整数根n，则an＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数，

∴n，an＋b均为奇数．又∵a＋b为偶数，

∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，

∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．

∴f(x)＝0无整数根．

[类题通法] 1．用反证法证明否定性命题的适用类型

一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．

2．反证法的一般步骤

用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤：

(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；

(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；

(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．

即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真．

[活学活用] 设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1. 求证：a＋b＋c＋d＋ab＋cd≠1.

证明：假设a＋b＋c＋d＋ab＋cd＝1. 因为ad－bc＝1，

所以a＋b＋c＋d＋ab＋cd＋bc－ad＝0，

即(a＋b)＋(c＋d)＋(a－d)＋(b＋c)＝0，

所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，

则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾．

故假设不成立，

所以a＋b＋c＋d＋ab＋cd≠1.

22222222222222222222222

2

用反证法证明唯一性命题

[例2] 已知a≠0，求证关于x的方程ax＝b有且只有一个实根．

[证明] 由于a≠0，

因此方程ax＝b至少有一个实根x＝. 如果方程不只有一个实根，不妨假设x1，x2是它的不同的两个根，

从而有ax1＝b，ax2＝b，

两式作差得a(x1－x2)＝0. 因为x1≠x2，从而a＝0，

这与已知条件a≠0矛盾，从而假设不成立，原命题成立．

即当a≠0时，关于x的方程ax＝b有且只有一个实根．

[类题通法]

用反证法证明唯一性命题的适用类型

(1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单．

(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面．

[活学活用] 用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．

证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．

假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a. 因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，

所以假设错误，原命题成立. 用反证法证明“至少”“至多”等存在性命题

[例3] 已知a1＋a2＋a3＋a4＞100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25. [证明] 假设a1，a2，a3，a4均不大于25，

即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，

则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，

这与已知a1＋a2＋a3＋a4＞100矛盾，

故假设错误．

所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25. [类题通法]

3 ba

常见“结论词”与“反设词”

结论词

反设词

结论词

反设词

结论词

反设词

[活学活用] 已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．

证明：假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝至少有一个

一个也没有(不存在)

只有一个

至多有一个

至少有两个

对所有x成立

至少有n个

至多有(n－1)个

对任意x不成立

存在某个x成立

至多有n个

至少有(n＋1)个

没有或至少有两个

存在某个x不成立

都是

不都是

一定是

不一定是

p或q 綈p且綈q p且q

綈p或綈q

f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1＜x2，则f(x1)＝f(x2)＝0. 因为函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，

x1，x2∈(a，b)且x1＜x2，

∴f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，

假设不成立，故原命题正确．

3．反证法的应用

[典例] (12分)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．

用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．

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[解题流程]

[规范解答] 假设ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，

且平面MBEN与平面DCEF交于EN. 由已知两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.(4分) 又因为AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，

而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB∥EN.(8分) 又因为AB∥CD∥EF，

所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，

故假设不成立，所以ME与BN不共面，

它们是异面直线．(12分)

[名师批注] 利用反证法证明问题，必须从假设出发，即本题必须以ME与BN共面为条件证明．此处极易忽视，造成解题错误

极易忽视此条件，直接由AB∥平面DCEF得出AB∥EN而失分

必须由矛盾否定假设，而肯定原命题正确

[活学活用] 在同一平面内，设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0，证明l1与l2相交．

证明：假设直线l1与l2不相交，则l1与l2平行，由直线l1与l2的方程可知实数k1，k2

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分别为两直线的斜率，则有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，消去k1，得k2＋2＝0，k2无实数解，这与已知k2为实数矛盾，所以k1≠k2，即l1与l2相交．

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[随堂即时演练] 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用(

) ①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．

A．①②

C．①②③ B．②③

D．①②④

解析：选C 除原结论不能作为推理条件外其余均可．

2．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是(

) A．a，b都能被5整除

B．a，b都不能被5整除

C．a不能被5整除

D．a，b有1个不能被5整除

解析：选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有1个”的反面是“1个也没有”，故B正确．

3．下列命题适合用反证法证明的是________(填序号)．

①已知函数f(x)＝a＋xx－2(a＞1)，证明：方程f(x)＝0没有负实数根；

x＋1yx1＋x1＋y②若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求证：和中至少有一个小于2；

③关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的；

④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．

解析：①是“否定”型命题；②是“至少”型命题；③是“唯一”型命题，且题中条件较少；④中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．

答案：①②③④

4．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．

解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．

答案：b与c平行或相交

5．若下列三个方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0，x＋2ax－2a＝0中至

6 2222

少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．

解：若三个方程均无实根，

2Δ1＝a－－4a＋＜0，22－4a＜0，则Δ2＝a－Δ3＝a2－－2a＜0

1⇒a＜－1或a＞，3－2＜a＜03⇒－＜a＜－1. 23设A＝a－＜a＜－1231－＜a＜，22

3，则∁RA＝aa≤－或a≥－12

，

3故所求实数a的取值范围是aa≤－或a≥－12

.  [课时达标检测] 一、选择题

1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是(

) A．假设三内角都不大于60°

B．假设三内角都大于60°

C．假设三内角至少有一个大于60°

D．假设三内角至多有两个大于60°

解析：选B “至少有一个”即“全部中最少有一个”．

2．用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为(

) A．a，b，c都是偶数

B．a，b，c都是奇数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数

解析：选D 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．

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333．用反证法证明命题“如果a＞b，那么a＞b”时，假设的内容应是(

) 33A.a＝b成立

33B.a＜b成立

3333C.a＝b或a＜b成立

3333D.a＝b且a＜b成立

解析：选C “大于”的否定为“小于或等于”．

4.“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：

(1)所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；

(2)所以∠B<90°；

(3)假设∠B≥90°；

(4)那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.

这四个步骤正确的顺序应是(

) A．(1)(2)(3)(4) C．(3)(4)(1)(2) B．(4)(3)(2)(1) D．(3)(4)(2)(1) 解析：选C 根据反证法证题的步骤可知选C. 5．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有(

) A．0个 C．2个 B．1个

D．无穷多个

解析：选A 假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a＞b，n∈N，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn. 二、填空题

6．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为________________．

解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠*BAP＞∠CAP. 答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP

7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．

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②所以一个三角形不能有两个直角．

③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.

上述步骤的正确顺序为________．

解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②. 答案：③①②

8．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是________．

解析：假设AC，BD共面，均在平面α内，

即AC⊂α，BD⊂α，则A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，

∴AB⊂α，CD⊂α，这与AB，CD异面矛盾，

∴AC，BD异面．

答案：异面

三、解答题

9．已知x，y>0，且x＋y>2.求证：1＋x1＋yy，x中至少有一个小于2. 证明：假设1＋xy，1＋yx都不小于2，

即1＋x1＋yy≥2，x≥2.

∵x>0，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x，

∴2＋x＋y≥2(x＋y)，

即x＋y≤2，与已知x＋y>2矛盾，

∴1＋xy，1＋yx中至少有一个小于2.

10．已知f(x)＝ax＋x－2x＋1(a＞1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．

证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，

则xx0－20＜0且x0≠－1且ax0＝－x1，

0＋由0＜axx0－20＜1⇒0＜－x＜1，

0＋1解得12＜x0＜2，这与x0＜0矛盾，

所以假设不成立，

故方程f(x)＝0没有负数根．

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