信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响教案设计（一等奖）

2．4正态分布

榆中二中 张彩 2014-5-11 教学目标：

知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用

。

过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。

情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质

。

教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。

教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教学用具：多媒体、实物投影仪。

课时安排：一课时。

教学方法：讲练结合。

教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。

内容分析：

1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布

2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：

1f(x)e2(x)222,x(,)， （σ＞0）

2由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为N(,)

3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的

4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征

5．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质

教学过程：

复习与思考

1.回顾曲边梯形的面积S＝baf(x)dx的意义；

2.复习频率分布直方图，频率分布折线图的作

法、意义

①在频率分布直方图中，区间（a,b）对应的

图形的面积表示

②在频率分布直方图中，所有小矩形的面积

的和为

新授课

1.通过高尔顿钉板试验提出问题，小球落

入底各个小槽中的频率分布情况。

(1)运用多媒体画出频率分布直方图．

(2)当n由300增至3000时，观察频率分布直方图的变化．

(3)请问当样本容量n无限增大时，频率分布直方图变化的情况？(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线) (4)样本容量越大，总体估计就越精确．

总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．

频率/组距总体密度曲线单位Oab

2. 一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足

P(aXb),(x)dx

ab则称

X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(,)．如果随机变量

X 服从正态分布，则记为X～2N(,2)

3.正态分布密度函数的理解．

(x)2,x1

其中：是圆周率；e是自然对数的底；

x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；

σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为N(μ，σ2)．

例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ

2e22

（１）f(x)121ex22,x(,)

（２）f(x)22e(x1)28,x(,)

答案：(1)0，1；(2)1，2；

4.正态分布N(μ，σ2)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布．通过固定其中一

个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响．

通过几何画板，作出正态曲线，固定其中一个值，利用几何画板的功能直观的观察正态曲线受到均值μ或标准差σ的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质．

(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．

(2)曲线关于直线x＝μ对称．

(3)当x＝μ时，曲线位于最高点12．

(4)当x＜μ时，曲线上升(增函数)；当x＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲

线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．

（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移. (6)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；

σ越小，曲线越“高”，总体分布越集中；

5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是f(x)12ex22，（-∞＜x＜+∞）

其相应的曲线称为标准正态曲线

标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位

任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题

5.3σ原则

标准正态曲线:P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝0.6826 P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＝0.9544 P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）＝0.9974 6.“小概率事件”和假设检验的基本思想

“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。这种认识便是进行推断的出发点。关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。

借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想。进行假设检验一般分三步：

第一步，提出统计假设。

第二步，确定一次试验中的取值a是否落入范围（μ-3σ，μ+3σ）；

第三步，作出推断。如果a∈（μ-3σ，μ+3σ），接受统计假设；如果a(3,3)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设。

例2若一个正态分布的概率函数关于X=2对称，且该函数的最大值等于（1）

求该正态分布的概率密度函数的解析式。

（2）

求总体在（，6）内取值的概率。

答案：（1）f(x)142。

142e(x2)232（2）0.8413

例3求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．

答案：0.8151．

课堂练习：练习1：关于正态曲线性质的叙述：

（1）

曲线关于直线x＝μ对称，整条曲线在x的上方；

（2）

曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；

（3）

曲线在x＝μ处处于最高点，由这一点向左右两侧延伸时，曲线逐渐降低；

（4）

曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.上述叙述中，正确的有 . 练习2：某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正态分布N（70.102），如果规定低于60分为不及格，求：

（1）成绩不及格的人数占多少？

（2）成绩在80~90内的学生占多少？

书本第74页

1,3。

课堂小结：本节课主要讲了

1．正态曲线的函数解析式

2．正态分布的定义

3．正态曲线的性质

4．标准正态分布

5．3

原则

课后作业：

(1)书本第75页

习题2. 4 A组

1 , 2 。

(2) 对第二章知识总结复习，并作书本第77页复习参考题。

板书设计: 2.4

正态分布

1.总体密度曲线2. 正态分布密度函数f(x)

12e(x)222 6.“小概率事件”和假设检验的基本思想

3.正态曲线的性质： 7. 例题

4.标准正态曲线: 8. 练习

5.3σ原则 9.小结

课后反思: