阅读与思考 九连环优秀课堂实录

数列求和的几种基本方法．

一、基本求和公式

(1)等差数列的前n项和公式：Sna1＋annn－1n＝2＝na1＋2d. n(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sa11－qa1－anqn＝na1；当q≠1时，Sn＝1－q＝1－q. （3）常见公式：123nn(n1)，135(2n1)n22，

2462nn2n，12232n2n(n1)(2n1)6。

例1、已知数列{an}的通项公式为a*n23n1（nN），求数列{an}的前n项和Sn。

例2、已知数列{an}的通项公式为a*n3n2（nN），求数列{an}的前n项和Sn。

二、转化求和

1、倒序相加法

如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．

例1、

已知f(x)＝x1＋x，利用等差数列求和的方法求f(15)＋f(14)＋f(13)＋f(12)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.

2、分组求和法

分组求和一般适用于两种形式：

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；

(2)通项公式为abn，n为奇数，n＝的数列，其中数列{bc，n为偶数

n}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组n求和法求和．

例1、等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．

例2、已知数列{a1n}的通项公式为ann2n（nN*），求数列{an}的前n项和Sn。

例3、已知数列{an}的通项公式为a*nn(n1)（nN），求数列{an}的前n项和Sn。

例4、已知数列{an}的通项公式为an1n33n（nN*），求数列{an}的前n项和Sn。

－例5、数列{a2n1

n为正奇数n}中，an＝

，则它的前n项和S2n－1

n为正偶数n＝________.

3、并项求和法：

一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

例1、求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．

例2、已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n项和Sn.

例3、已知数列{an}的通项公式为an*n（-1）n（nN），求数列{an}的前n项和Sn。

例4、已知函数f(n)＝n2，n为奇数，－n2，n为偶数，

且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100=

。

三、裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

裂项相消求和经常用到下列拆项公式

(1)1nn＋1＝11n－n＋1；

(2)1111(2n1)(2n1)2(2n12n1)；

(3)1n＋n＋1＝n＋1－n；

（4）数列{an}是等差数列，公差为d，1111a()

nan1danan1例1、

求数列112＋2，11122＋4，32＋6，42＋8，…的前n项和．

例2、正项数列{an}满足a2n－(2n－1)an－2n＝0. (1)求数列{an}的通项公式an；

(2)令b1n＝n＋1a，求数列{bnn}的前n项和Tn.

四、错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．

例1、

设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bb1b2＋…＋bn＝1－1n}满足＋n，n∈N*a，求{b1a2an2n}的前n项和Tn.

例2、

数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项an；

(2)求数列{nan}的前n项和Tn.

例3、

已知f(x)＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，求f(12)．