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《简单线性规划》教学设计

莆田四中数学组 陈冠峰

（一）三维目标

1.知识与能力：

（1）了解线性规划的意义、线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解等概念；

（2）了解用图解法求线性目标函数的最大值、最小值；

（3）培养学生观察、联想能力，“用数学”的意识；

2.过程与方法：

以图解法求线性目标函数的最大值、最小值为载体，体验数学探究的过程；

3.情感态度价值观：

培养学生探究意识，激励学生勇于创新，建立严谨的科学态度。

（二）教学重点

线性规划问题的图解法；

（三）教学难点

如何寻找线性规划问题中的最优解；

（四）教学过程

一、温故知新

1.提问同学：如何确定二元一次不等式（组）表示的平面区域？

注意强调：

（1）直线定界、特值定域，特别是特值的选择；

（2）边界处理：取到用实线，取不到用虚线。

2.播放几段公益广告，引出以下问题：

引例：某班同学计划利用星期日去市郊养老院进行献爱心活动，学校为同学去养老院提供的往返路费总共37元.这次活动由甲乙两组同学参与,每组至少去1名,并要求乙组参与的同学比甲组参与的同学至少多一名. 已知甲组每位同学的往返车费是3元,每人须为5位老人服务,乙组每位同学的往返车费是5元, 每人须为3位老人服务.怎样安排甲乙两组参与活动的同学人数,才能使最多的老人得到服务,得到服务的老人人数最多是多少? 二、格物致知

1.提问（由同学们自行画图探索）：

1

思考一：做出下面不等式组所表示的平面区域：

x4y33x5y25

x1思考二：

（1）x有无最大（小）值？

（2）y有无最大（小）值？

（3）2xy有无最大（小）值？

同学们思考探究，并互相讨论得出答案。

2.教师整理出第一个例题：

x4y3例1 设z2xy，求x,y满足3x5y25时，z的最大值和最小值。

x1解答：（师生共同完成，教师注意归纳解题步骤）

x4y3（1）先作出3x5y25所表示的平面区域；

x1（2）令z0，作出直线l0：2xy0；

（3）平移直线l0，观察直线与平面、y轴截距变化情况，教师归纳阐述z所表示的几何意义；

（4）得出最后结论。

3.教师归纳线性规划相关概念：

约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行域、可行解、最优解。

4.解决引例问题：

列表：

项

目

组

别

甲组

乙组

限额

学生人数（位）

车费（元）

x

3x

y

5y

37

2

服务人数（位）

解题：

5x

3y

设甲乙两组参与活动的同学人数分别是x、y, 得到服务的老人总数为m, 则上述问题转

化为以下数学问题: 已知变量x、y满足条件:

x1yx1 ① , 3x5y37求m5x3y的最大值.

画出可行域

1086BEA4jCy = h(x)5y = g(x)2y = f(x)101520252

画出l0：5x3y0，将l0平行移动，观察直线纵截距，得出m的最值，即过点A(4,5)，m35

答：甲乙两组参与活动的同学人数分别为4人、5人，共为35位老人服务。

在以上两个题目探究过程中，渗透了集合、化归、数形结合等多种数学思想，对培养学生解决问题的能力非常有益，教师引导，学生不断尝试，而这种尝试也符合学生的认知规律。

5.教师归纳解题步骤：图解法解题

（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；

（2）作：作出参照直线；

3

（3）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大、最小的直线；

（4）求：通过解方程组求出最优解；

（5）答：作出答案。

至此，学生认知结构形成，对线性规划图解法有了较为完整的认识。

三、知而习之

练习1：

(2004高考全国卷第16题)解下列线性规划问题：求z2xy的最大值，使式中x、xy1y满足下列条件：yx。

y02x3y24xy7y6练习2 ：

求z3xy的最大值，使式中x、y满足下列条件：

x0y0四、习而思之

1.线性规划问题的有关概念；

2.解决线性规划问题的有关方法：图解法；

3.用图解法解线性规划问题的相关步骤；

4.本节课用到的数学思想法。

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