1.1 回归分析的基本思想及其初步应用优质课教案内容

31回归分析的基本思想及其初步应用

3．1.1回归分析的基本思想及其初步应用

课前预习学案

一、预习目标

通过截距a与斜率b分别是使Q(,)二、预习内容: 1.

对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),的最小二乘法估计公式：

n(yx)iii12取最小值时，求,的值。

,(xn,yn).其回归直线方程的截距和斜率a=

，b=

2．x=

,

y=

3．样本点的中心

三、提出问题

如何使

Q(,)值最小，通过观察分析式子进行试探推到

课内探究学案

一、学习目标

1.

了解回归分析的基本思想和方法

,

培养学生观察分析计算的能力

二、学习重难点

学习重点：回归方程ybxa，

学习难点：a、b公式的推到

三、学习过程

1．使Q(,)值最小时，,值的推到

2．结论

(xx)(yy)iii1n(xx)ii1n

2yx

3．ybxa中a和b的含义是什么

4. (x,y)一定通过回归方程吗？

四、典型例题

例1．研究某灌溉倒水的流速y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：

水深x（m）

流速y(m/s) 1.40 1.70 1.50 1.79 1.60 1.88 1.70 1.95 1.80 2.03 1.90 2.10 2.00 2.16 2.10 2.21 (1)

求y与x的回归直线方程；

(2) 预测水深为1.95m时水的流速是多少？

分析：（1）y与x的回归直线方程为y0.733x0.6948

（2）当水深为1.95m时，可以预测水的流速约为2.12m/s 五、当堂练习

1.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),不正确的是（

）

A.由样本数据得到的回归方程ybxa必过样本中心(x,y)

B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C.用相关指数R来刻画回归效果，R越小，说明模型的拟合效果越好

D．若变量y与x之间的相关系数r0.9362，则变量y与x之间具有线性相关关系

2.已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg与每单位面积蔬菜年平均产量yt之间的关系有如下数据：

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 年份

x(kg) 70 74 80 78 85 92 90 95 y(t) 年份

x(kg) y(t) 5.1 1993 92 11.5 6.0 1994 108 11.0 6.8 1995 115 11.8 7.8 1996 123 12.2 9.0 10.2 1997 130 12.5 10.0 1998 138 12.8 12.0 1999 145 13.0 22,(xn,yn).则下列说法若x与y之间线性相关，求蔬菜年平均产量y与使用氮肥量x之间的回归直线方程，并估计每单位面积蔬菜的年平均产量.（已知x101,y10.11,

xi1152i161,xiyi16076.8）

i115

课后练习与提高

1、

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：

x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 (1)

请画出上表数据的散点图；

(2)

请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa；

(3)

已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

（参考数值：32.5435464.566.5）

解：（1）由题设所给数据，可得散点图如下图

y(能耗:吨标

准煤)

4.5

4

O

1

2

3

4

5

6

x(

产量：吨

)

3．1.2回归分析的基本思想及其初步应用回归分析的基本思想及其初步应用

课前预习学案

一、预习目标

1 了解相关系数r和相关指数R2

2 了解残差分析

3 了解随机误差产生的原因

二、预习内容

1 相关系数r ①r(xx)(yy)iii1n(xx)(yy)2iii1i1nn 2

②r>0表明两个变量

；r<0表明两个变量

；r的绝对值越接近1，表明两个变量相关性

，r的绝对值越接近0,表示两个变量之间

当r的绝对值大于

认为两个变量具有很强的相关性关系。

2 随机误差

①在线性回归模型：ybxae中，a和b为模型的

，e是y与ybxa之间的

，通常e为随机变量，称为随机误差，它的均值E(e)=

，方差D(e)= 

0 2ybxae2②线性回归模型的完整表达式为随机误差e的方差越小，通过回归直线2E(e)0,D(e)ybxa预报真实值y的精确度

3 残差分析

①残差对于样本点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),,(xn,yn).而言，相应于它们的随机误差为

ei=

=

(i=1,2,3,…,n) 其估算值为ei=

=

(i=1,2,3,…,n). 称为相应于点(xi,yi)的残差。

②残差平方和：类比样本方差估计总体方差的思想，可以用=

=

2（n>2）作为的估计量，其中aybx，

b2(xx)(yy)iii1n(xx)ii1n，Q(a,b)称为残差平方和，可以用2衡量回归方程的预报精度，越小，预报精度

③用图形来分析残差特性：用

R1

来刻画回归的效果。

三、提出问题

1 随机误差产生的原因是什么？

2如何建立模型拟合效果最好？

课内探究学习

一、学习目标

222

1 了解相关系数和相关指数的关系. 2 理解随机误差产生的原因.3 3 会进行简单的残差分析

二、学习重难点

学习重点

1 相关系数r 2相关指数R2

3 随机误差

学习难点

残差分析的应用

三、学习过程

1 相关系数r=

2 r的性质：

3 随机误差的定义：

4相关指数R2=

5 R2的性质：

6 残差分析的步骤：

四、典型例题

例

随着我国经济的快速发展，城乡居民的审核水平不断提高，为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查10个家庭，得数据如下：

家庭编号

x收入(千元) y支出千元

1 0.8 0.7 2 1.1 1.0 3 1.3 1.2 4 1.5 1.0 5 1.5 1.3 6 1.8 1.5 7 2.0 1.3 8 2.2 1.7 9 2.4 2.0 10 2.8 2.5 (1)

判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？

(2)

若二者线性相关，求回归直线方程。

思路点拨：利用散点图观察收入x和支出y是否线性相关，若呈现线性相关关系，可利用公式来求出回归系数，然后获得回归直线方程。

解：作散点图

y 月支/

千元

3

2.5

2

1.5

O

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x平均

收入/千元

观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈现线性相关关系。

(2) x1(0.81.11.31.51.51.82.02.22.42.8)1.74,

10y1(0.71.01.21.01.31.51.31.72.02.5)1.42,

10bxynxyiii1nnxi2nxi120.8136,a1.421.740.0043.

所以回归方程y0.8136x0.0043

五、当堂练习

1 山东鲁洁棉业公式的可按人员在7块并排形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg）

施化肥量x 15 产量y 20 25 30 35 40 45 330 345 365 405 445 450 455 （1）

画出散点图；

（2）

判断是否具有相关关系

思路点拨

（1）散点图如图所示

y 棉花产量

500

450

400

350

300 O

10

20

30

40

50

施

化肥量

x

（2）由散点图可知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系. 六、课后练习与提高

1 在对两个变量x、y进行线性回归分析时有下列步骤：

①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(xi,yi),i1,2,,n;③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图。如果根据可靠性要求能够作出变量x、y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是（

）

A

①②⑤③④ B ③②④⑤①

C

②④③①⑤ D ②⑤④③①

2 三点（3,10），（7，20）,(11,24)的线性回归方程为（

）

A y1.75x5.75

B y1.75x5.75

C y1.75x5.75

Dy1.75x5.75

3 对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程yabx中，回归系数b

（

）

A.可以大于0

B 大于0

C

能等于0

D只能小于0 4 废品率x00和每吨生铁成本y（元）之间的回归直线方程为y2562x，表明（

）

A 废品率每增加100，生铁成本增加258元；

B废品率每增加100，生铁成本增加2元；

C废品率每增加100，生铁成本每吨增加2元；D废品率不变，生铁成本增加256元；