1.3 实习作业优质课教案推荐

解三角形

正弦定理（一）

1正弦定理：sinAsinBsinC2R，

(2)推论：正余弦定理的边角互换功能

①

a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC

②sinA ③

abcabc，sinB，sinC

2R2R2Rabcabc==2R

sinAsinBsinCsinAsinBsinC ④a:b:csinA:sinB:sinC

典型例题: 1．在△ABC中，已知a52,c10,A300，则∠B等于（

）

A．1050

B．600

C．150

D．1050或150

2．在△ABC中，已知a6,b2,A600，则这样的三角形有_____1____个．

2sinAsinB的值．

sinCasinA11∴sinAsinC

解

由条件csinC55132sinCsinC32sinAsinB155同理可得sinBsinC∴＝＝

5sinC5sinC3．在△ABC中，若a:b:c1:3:5,求

练习:

一、

选择题

1．一个三角形的两内角分别为450与600，如果450角所对的边长是６，那么600角所对的边的边长为（

）．

Ａ．36

Ｂ．32

Ｃ．33

Ｄ．26

2．在△ABC中，若其外接圆半径为Ｒ，则一定有（

）

abc2R

Ｂ．asinB2R

sinAsinBsinCＣ．sinA2aR

Ｄ．bRsinB

Ａ．

3．在△ABC中，ab，则△ABC一定是（

）

cosBcosA

Ａ．等腰三角形

Ｂ．直角三角形

Ｃ．等腰直角三角形

Ｄ．等腰三角形或直角三角形

解：在△ABC中，∵ab，∴acosAbcosB，由正弦定理，

cosBcosA得2RsinAcosA2RsinBcosB，∴sin2Asin2B。

∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°。

故△ABC为等腰三角形或直角三角形。

二、填空题

4．在△ABC中，已知a8,b6,且Ｓ△ABC＝

123，则Ｃ＝_600或1200______ 5．如果1cosAa，那么△ABC是__等腰三角形_____ 1cosBbB的值．

2三、解答题

6．在△ABC中，若ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，面积Ｓ△ABC＝４，求sin解

由条件c2,a5,Ｓ△ABC＝114acsinB52sinB5sinB4

∴sinB

225当B为锐角时，cosB31cosB1B52B∴sin由sin

52252531cosB4B252B∴sin由sin

5225250当B为钝角时，cosB7．在△ABC中，a,b,c,分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若b2a,BA60,求Ａ的值．

解∵Ｂ＝Ａ＋600

∴sinBsin(A60)

sinB又b2a,2RsinB4RsinA

∴sinB2sinA

013sinAcosA

22∴2sinA13A

sinAcosA

3sinA3cos223,又∵00＜A＜1800

∴A300

3∴tanAcos2Acos2B11

2222abababsinAsinBsinA2sinB2)()

解：.(sinAsinBabab8．在△ABC中，求证：sin2Asin2B1cos2A1cos2Bcos2Acos2B11

22222222abababab

1．1．1．正弦定理（二）

三角形的面积公式：

（1）s111absinC=bcsinA=casinB

（2）s=2R2sinAsinBsinC

222（3）sabc

4R典型例题: 【例1】．在△ABC中，已知b2,c1,B450，则a的值为

（

）

Ａ．

6262

Ｂ．

Ｃ．21

Ｄ．32

22【例2】．在△ABC中，已知a5,B1050,C150，则此三角形的最大边长为_________ 答案：

【例3】．△ABC的两边长分别为3cm,5cm,夹角的余弦是方程5x27x60的根，求△ABC的面积．

2解 设两边夹角为α,而方程5x7x60的两根x12,x215256

63/5

∴cos3243142∴sin1()∴Ｓ△ABC＝

356cm

52555a的范b【例4】在锐角三角形ABC中，A=2B，a、b、c所对的角分别为A、B、C，试求围。

分析：本题由条件锐角三角形得到B的范围，从而得出a的范围。

bB900【解】在锐角三角形ABC中，A、B、C<900，即：

2B900300B450，18003B900由正弦定理知：

asinAsin2B2cosBbsinBsinB

2,3，故所求的范围是：2,3。

练习: 一、选择题

1．在△ABC中，已知a8,B600,C750，则b等于（

）

Ａ．42

Ｂ．43

Ｃ．46

Ｄ．

2．在△ABC中，已知axcm,b2cm,B450，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是

(

) Ａ.2＜x＜22

Ｂ．2＜x22

Ｃ．x＞2

Ｄ．x＜2

3．△ABC中，若sinA：sinB：sinC=m：(m+1)：2m,

则m的取值范围是（

）

32

31，＋∞）

Ｃ．（１，＋∞）

Ｄ．（２，＋∞）

214．在△ABC中，A为锐角，lgb+lg()=lgsinA=－lg2, 则△ABC为（

）

cＡ．（０，＋∞）

Ｂ．（A. 等腰三角形

B. 等边三角形

C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

二、填空题

5．在ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么ABC的形状是一定是等腰三角形___

解法1：由2sinAcosBsinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，

即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．

a2c2b2sinCc解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．

2sinA2a2aca2c2b2c22∴

＝，即a＝b，得a＝b，

2a2ac

评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．

6．在△ABC中，已知a32,cosC三、解答题

7．已知方程x(bcosA)xacosB0的两根之积等于两根之和，且a,b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状

解：由方程两根之积为acosB，方程两根之和为bcosA，∴acosBbcosA

由正弦定理，得sinAcosBsinBcosA

即sin(AB)0

00∵

180＜AB＜180

∴Ａ－Ｂ＝０

∴Ａ＝Ｂ

1，Ｓ△ABC＝43，则b___23______

32∴三角形为等腰三角形

8．在△ABC中，ac2b,AC3，求sinB的值。

解

由正弦定理，得sinA+sinC=2sinB

ACACACAC;C

2222ACACcos2sinB

得2sin22由A即sinAC3ACcossinB即sinB

sin2622∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝∴Ｂ＝－（Ａ＋Ｃ）

BACBACAC)sin∴coscos(

2222222∴2sinBB3Bcoscos

2222∵cosBB3B32130

∴

sin

∴cos1(

)224244∴sinB2sinBB31339cos222448

25,求

59、在ABC中，B45,AC10,cosC（1）BC?

(2)若点D是AB的中点，求中线CD的长度。

解：（1）由cosC255

得sinC552310

(cosCsinC)210sinAsin(18045C)

由正弦定理知BCACsinA1031032

sinB2102（2）ABAC1051sinC2，BDAB1

sinB2252由余弦定理知CDBD2BC22BDBCcosB1182132213

210、如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=. A α

β

B

D C

（1）证明

sincos20; （2）若AC=3DC,求的值.

解：(1)．如图3，2(2)2,sinsin(2)cos2，

22

即sincos20．

（2）．在ABC中，由正弦定理得

DCACDC3DC,.sin3sin

sinsin()sinsin

由(1)得sincos2，sin3cos23(12sin2),

即23sin2sin30.解得sin33．

或sin23

02,sin3,.

2311如图所示，在等边三角形中，ABa,O为三角形的中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，求11的最大值和最小值．

OM2ON23a，

32MAONAO，设MOA，则，

633OMOA在AOM中，由正弦定理得：，

sinMAOsin[()]633aa66∴OM，在AON中，由正弦定理得：ON【解】由于O为正三角形ABC的中心，∴AOsin()sin()66111212122[sin()sin()](sin2)，

∴2222OMONa66a2231118∵，∴sin1，故当时取得最大值，

2223342OMONa2311152所以，当,or时sin，此时取得最小值．

334OM2ON2a2，

1．1．2．余弦定理（一）

b2c2a2,cosA2bca2b2c22bccosA,2ac2b2222,余弦定理：b2a2c22accosB,cosB2ac222cab2abcosC.abccosC.2ab

典型例题: 1．在△ABC中，已知a8,b43,c13，则△ABC的最小角为（

）

A．

２．在△ABC中，已知b1,c3,A600，则a____7_____

3．在△ABC中，已知b5,c53,A300，求a、B、C及面积S

222解

由余弦定理，知abc2bccosA



B．

Ｃ．

Ｄ．

1234452(53)22553sin30025

000∴a5又∵ab∴BA30∴C180AB120

S

11253

bcsinA5(53)sin300224练习:

一、选择题

1．在△ABC中，如果(abc)(bca)3bc,则角Ａ等于（

）

Ａ．30

Ｂ．60

Ｃ．120

Ｄ．150

２．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（

）

Ａ．b10,A45,C75

Ｂ．a7,b5,A80

Ｃ．a60,b48,C60

Ｄ．a14,b16,A45

000000000

３在△ABC中，已知a4b4c42c2(a2b2)则角Ｃ＝（

）

Ａ．300

Ｂ．600

Ｃ．450或1350

Ｄ．1200

4．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰

好3km，那么x的值为（

）

A. 3

B. 23

C. 23或3

D. 3 二、填空题

5．已知锐角三角形的边长为1、3、a，则a的取值范围是___22＜a＜10______

6、在△ABC中，bc:ca:ab4:5:6，则△ABC的最大内角的度数是120°

7．在△ABC中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_________23

三、解答题

8．在△ABC中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ,

b4,ac8,求a、c的长. acac

∵Ａ＝２Ｃ

∴

sinAsinCsin2CsinC8c∴a2csinC

又ac8

∴

cocC

①

2c解：由正弦定理，得由余弦定理，得

c2a2b22abcosC4ccosC1616cosC222

②

16c5c4或(舍)24a4a24165，c

①

入②，得

∴a559．已知锐角三角形ABC中，边a、b为方程x23x20的两根,角A、B满足22sin(AB)30，求角C、边c及Ｓ△ABC。

解 x23x20

，得 X1=31, X 2=31

∵sin(AB)sin(C)sinC∴sinC∴Ｃ＝60由余弦定理，得 023

由于△ABC为锐角三角形，

2

c2a2b22abcosCx1x22x1x2cosC(31)2(31)22(31)(31)cos6006

∴C6

Ｓ△ABC＝22113acsinC(31)(31)sin600

22210如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？

解：设AOB，在△AOB中，由余弦定理得：

222

ABOAOB2OAcOoBs

AOB

1222212cos54cos

于是，四边形OACB的面积为

S=S△AOB+ S△ABC13OAOBsinAB2

24

1321sin(54cos)

24533cos42sin(3，

sin53)

4因为0，所以当四边形OACB面积最大．

3255，即AOB时，

66

1．1．2．余弦定理（二）

典型例题: 1．在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（

）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．

钝角三角形

D．非钝角三角形

2、△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量

p(ac,b),q(ba,ca),若p//q,则角C的大小为

(A)2

(B)

(C)

(D)

3632解：p//q(ac)(ca)b(ba)b2a2c2ab，利用余弦定理可得2cosC1，

即cosC

1C，故选择答案B。

233.如图，在ABC中，BAC120,AB2,AC1,D是边BC上一点，DC2BD,则ADBC__________. ABDAB2AC2BC2AB2AD2BD2解：由余弦定理得cosB

2ABAC2ABBD可得BC7,ADC13，

3又AD,BC夹角大小为ADB，BD2AD2AB23298cosADB，

2BDAD94137918所以ADBCADBCcosADB.

34. 在△ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且8sin

（1）求角A的大小；

（2）若a=3,b+c=3,求b和c的值. 解：（1）在△ABC中有B+C=π-A，由条件可得

4[1-cos（B+C）]-4cos2A+2=7.………2分

又∵

cos（B+C）=-cosA，

∴4 cos2A-4cosA+1=0

解得：cosA=2BC2cos2A7. 21, 又A∈（0，π），∴

A=.

23b2c2a211（2）由cosA=

知

=, 即(bc)2a23bc

222bc又a=3，b+c=3，代入得

bc2.

bc3b1由





或

bc2c2练习:

一、选择题

b2

c11．在△ABC中，a,b,c分别是A，B，C的对边，且bc3bca

则A等于

（

）

A．22225

B．

C．

D．

3663

２．在△ABC中，若(abc)(bca)3bc，并有sinA＝２sinBcosC,那么△ABC是（

）

Ａ．直角三角形

Ｂ．等边三角形

Ｃ．

等腰三角形

Ｄ．等腰直角三角形

３．在ΔABC中，已知AB为（

）

Ａ．466，AC边上的中线BD=5，求sinA的值,cosB3670707010

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

17121414分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．

解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE126，设BE＝x

AB23在ΔBDE中利用余弦定理可得：BD2BE2ED22BEEDcosBED，

5x2782662x，解得x1，x（舍去）

3336222故BC=2，从而AC=AB+BC-2ABBCcosB=28221，即AC33又

221230703，sinA，故

sinBsinA614306

4．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为

(

) A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．由增加的长度决定

解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x为最大边，其对应角最大．

而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．

Ba＋c5.在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为

(

) 22cA．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

cosB＋1a＋cBa＋ca解析：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝，

22c22cc

a2＋c2－b2a∴＝，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，

2acc∴△ABC为直角三角形．答案：B 二、填空题

6．△ABC中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，Ｓ△ABC＝４，则ＡＣ＝__17或41_______

7.

在△ABC中，已知b1,A600,Ｓ△ABC＝3,则三、解答题

a239_________

sinA3a2b2sin(AB)8．在△ABC中，角A、B、C对边分别为a,b,c，证明。

2sinCc解

由余弦定理,知a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB

∴a2b2b2a22bccosA2accosB

a2b2sinAcosBcosAsinBsin(AB)

2sinCsinCc