小结教学设计实例

§1．3．1二项式定理

教学目标：

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

授课类型：新授课 课时安排：3课时

内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．

教学过程：

一、复习引入：

⑴(ab)a2abbC2aC2abC2b；

0312233⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

22202122⑶(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：a，ab，ab，ab，b，

4322344a的系数是C4；展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，112恰有1个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，ab的系322040数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，有4都取b的情况有C4种，b的系数是C4，

4233344

04132223344∴(ab)4C4aC4abC4abC4abC4b．

二、讲解新课：

0n1n二项式定理：(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 00每个都不取b的情况有1种，即Cn种，a的系数是Cn；

11恰有1个取b的情况有Cn种，ab的系数是Cn，……，

r恰有r个取b的情况有Cn种，annrnnrbr的系数是Cn，……，

nn有n都取b的情况有Cn种，b的系数是Cn，

0n1n∴(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式，⑶它有n1r项，各项的系数Cn(r0,1,n)叫二项式系数，

rnrrrnrr⑷Cnab．

ab叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cn1⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxrrCnxxn

三、讲解范例：

14例1．展开(1)．

x4641141411112313解一：

(1)1C4()C4()C4()()1234．

xxxxxxxxx1414144413123xCxCxCx1解二：(1)()(x1)()

444xxx46411234．

xxxx

例2．展开(2x16)．

x

解：(2x161)3(2x1)6

xx16152433221[(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)1]

666663x6012164x3192x2240x16023．

xxx例3．求(xa)12的展开式中的倒数第4项

解：(xa)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339T91C12xaC12xa220x3a9．

例4．（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数；

3（2）求(x)的展开式中x的系数及二项式系数

1x93解：(12x)的展开式的第四项是T31C7(2x)3280x3，

7∴(12x)7的展开式的第四项的系数是280．

（2）∵(x)的展开式的通项是Tr1C9x19x∴92r3，r3，

3r9r1()r(1)rC9rx92r，

x33∴x的系数(1)3C984，x的二项式系数C984．

3

例5．求(x3x4)的展开式中x的系数

分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开

解：（法一）(x3x4)[(x3x)4]

01234C4(x23x)4C4(x23x)34C4(x23x)242C4(x23x)43C444，

242424显然，上式中只有第四项中含x的项，

∴展开式中含x的项的系数是C434768

（法二）：(x3x4)[(x1)(x4)](x1)(x4)

0413223404132234(C4xC4xC4xC4xC4)(C4xC4x4C4x42C4x43C444)

2444433

3433∴展开式中含x的项的系数是C44C44768．

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四、课堂练习：

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五、小结

：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业：

P36 习题1.3A组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）

八、教学反思：

ｎ (a+b) =

ｎ这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)的 ，其中Crn（r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项. 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。