信息技术应用 估计√2的值教学实录与评析

等差数列的概念及其前n项和

※知识要点

1．等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的

等于

常数，那么这个数列就叫做等差数列．其中，这个常数叫做等差数列的

，通常用字母

表示．

注意：等差数列递推公式可表示为____________ (d为常数)．

2．等差中项

若数a，A，b成等差数列，则称A叫做a，b的__________；

注意：若数a，A，b成等差数列⇔A＝

．

3．等差数列的通项公式

若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则an＝

；

注意：(1)等差数列通向可看作是关于n的

函数；

(2)若已知等差数列的某项am及公差d，则an＝

；

4．等差数列的重要性质

(1)若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，则有等式______________成立，特别地，当m＋n＝2p时，则有______________．

注意：该性质可拓展为“若m＋n＋p＝q＋r+s (m，n，p，q，r，s∈N*)，则有等式__________________成立”，以此类推．

(2)等差数列单调性：若{an}是公差为d的等差数列，则：

①若数列{an}递增⇔

；②若数列{an}递减⇔

；

③数列{an}为常数列⇔

．

5．等差数列的前n项和公式

(1)若已知a1，an，n，则前n项和Sn＝_______________；

(2)若已知a1，n，d，则前n项和Sn＝_______________；

注意：(1)等差数列前n项和可看作是关于n的

函数；

(2)等差数列的前n项和公式的推导方法是

．

6．等差数列判定方法

(1)定义法：即证____________________ (n∈N*，d为常数)；

(2)中项法：即证____________________________________；

(3)函数法：即证____________________________________；

7．等差数列常用结论

(1)若{an}是公差为d的等差数列，则{a2n}是

数列，公差为

；

(2)若{an}是公差为d的等差数列，{bn}是差为e的等差数列，则{pan＋qbn}是

数列，公差为

；

(3)若{an}是公差为d的等差数列，则数列ak，ak＋m，ak＋2m，…

(k，m∈N*)是

数列，公差为

；

(4)若{an}是公差为d，前n项和为Sn的等差数列，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是

数列，公差为

．

(5)若{aSnn}是公差为d，前n项和为Sn的等差数列，则数列{n}是

数列，公差为

．

※题型讲练

【例1】已知数列{an}的前n项和Sn=2n2＋n，

(1)求数列{an}通项公式；

(2)求证：数列{an}为等差数列．

变式训练1：

1．已知数列{a满足：a2an1n}1＝2，an+1=a，设bn+2n=a．

n(1)证明：数列{bn}是等差数列；

(2)求通项公式an．

2．已知{a1n}前n项和Sn，且an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=2．

(1)求证：{1S}是等差数列；

(2)求an的表达式．

n

【例2】在等差数列{an}，a5＝10，a12＝31．

(1)求通项公式an；

(2)判断{an}的单调性并说明理由．

变式训练2：

1．已知等差数列{an}：1，x，y，－5，…，－89．则数列{an} 的公差为d=

，通项公式an=

，项数n=

．

2．若m和2n的等差中项为4，数列2m，5，n为等差数列，

则m和n的等差中项是

．

3．已知四个数成递增的等差数列，中间两项的等差中项为1，

首末两项的积为－8，求这四个数．

【例3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a10＝30，a20＝50．

(1)求通项公式an；

(2)若Sn＝242，求n．

变式训练3：

1．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，

(1)若a4+a8＝18，则S11=

；

(2)若a6+a15＝20，则S20=

；

(3)若a4+a15－a10＝6，S13＝52，则a8=

．

2．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，

(1)若{a{ban2n－1S5n}和n}满足：bn=3n－1，则T5=

；

(2)若{aSn2n－1a5n}和{bn}满足：Tn=3n－1，则b5=

．

【例4】在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36．

(1)求通项公式an和前n项和为Sn；

(2)当n为何值时，Sn的值最小？并求出Sn的最小值；

(3)求和：Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|．

※课后练习

1．等差数列{an}中，a1+a5=10，S7=49，则公差d为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 2．等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a6＝9，则S11=(

) A．297

B．144

C．99

D．66 3．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{Sn}中也为常数的项是(

)

A．S7

B．S8

C．S13

D．S15

变式训练4：

1．已知等差数列{an}中，若S3＝9，S6＝36，则S9=

．

2．已知等差数列{aS3S2n}满足3－2＝1，a1=2，则a10=

．

4．等差数列{an}中，S5S8，则下列错误的是(

) A．d<0

B．a7=0

C．S9>S5

D．S6与S7均为Sn的最大值

5．等差数列{an}中，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m=(

) A．3

B．4

C．5

D．6 6．已知等差数列{a，若a1n}1＝2，S4＝20，则S6等于

．

7．在△ABC中，角A，B，C成等差数列，则角B=

．

8．等差数列{an}中，若2a4+a7=3，则其前9项和S9=

．

9．已知等差数列{an}，若S10＝10，S20＝30，则S30＝______．

10．已知等差数列{aS2 014S2 008n}，若a1＝－2 014，2 014－2 008＝6，则S2 016＝________．

11．等差数列{aan}中，若满足：5a＝5S939，则S等于

．

512．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为

．

13．已知数列{a1n}中，a1＝2，2an＋1·an＋an＋1－an＝0. (1)求证：{1a}是等差数列；

(2)求通项公式an．

n

14．已知数列{a}中，a31n1＝5，an＝2－an(n≥2，n∈N*)．

－1(1)若bn＝1an－1(n∈N*)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项．

15．已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn．