1.3 二项式定理（通用）优质课一等奖

二项式定理教案

教学目标

（1）知识目标：掌握二项式定理及其通项公式；能应用二项式定理展开简单的二项式，应用通项公式求二项式展开式的指定项，能区别二项式系数与项的系数。

（2）能力目标：通过二项式定理的学习过程，培养学生的探究发现能力和数学语言表达能力。

（3）情感目标：通过问题情境的创设，激发学生的爱国热情和学习热情；通过二项式定理的探究发现，给学生带来成功的体验。

重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。

难点：二项式定理的发现。

教学过程

1、情景导入

2010年我国西南五省遭受了50年一遇的特大旱灾，国家为支持百色地区抗旱工作，2010年拨款3000万元兴建蓄水池，若以后每年拨款递增10％，那么2015年的拨款是多少万元？

3000(1



10

0

0

)

5（万元）

2、探求新知

第一步：让学生展开

(ab)1ab

(ab)2a22abb2；

(ab)3(ab)2(ab)a33a2b3ab2b3；

(ab)4(ab)3(ab)a44a3b6a2b24ab3b4

(ab)5(ab)5(ab)a55a4b10a3b210a2b35ab4b5

教师将以上各展开式的系数整理成如下模型

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。

预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。

问题2：以(ab)的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。

预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等- 1 - 5

于乘方指数。

初步归纳出下式：

(ab)nanan1ban2b2an3b3bn

（※）

继续新授

师：为了寻找规律，我们将(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)中第一个括号中的字母分别记成a1,b1；第二个括号中的字母分别记成a2,b2；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：

(ab)4(a1b1)(a2b2)(a3b3)(a4b4)

a1a2a3a4

………a4

a1a2a3b4a1a2a4b3a1a3a4b2a2a3a4b1

………a3b

a1a2b3b4a1a3b2b4a1a4b2b3a2a3b1b4a2a4b1b3a3a4b1b2

………a2b2

a1b2b3b4a2b1b3b4a3b1b2b4a4b1b2b3

………ab3

b1b2b3b4

………b4

问题1：以ab项为例，有几种情况相乘均可得到ab项？这里的字母a,b各来自哪个括号？

问题2：既然以上的字母a,b分别来自4个不同的括号，ab项的系数你能用组合数来表示吗？

问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？

问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子：

222222(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)a4a3ba2b2ab3b4

括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。

呈现二项式定理——板书课题：

0n1n12n22rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb(nN)。

3、深化认识

请学生总结：

①二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？

②二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？

由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。

4、巩固应用

【例1】展开①(11416)

②(2x)

xx- 2 -

【例2】①求(12x)7的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。

②求(x19)的展开式中含x3项的系数。

x变式：在二项式定理中，令a1,bx，得到怎样的公式？

122rrnn(1x)n1CnxCnxCnxCnx

012rn思考：CnCnCnCnCn?为什么？

12rn

CnCnCnCn?

课堂小结

①本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。

②二项式定理的表达式以及展开式的通项，

③要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，

④将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值。

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