小结优秀教学实录

《基本不等式》问题导读评价单

目标：1.通过阅读教材了解重要不等式ab2ab，及一些重要变形；

2.能推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义；

3.能运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；

4.会用基本不等式证明一些简单的不等式；

5.会用基本不等式解决实际问题。

重难点:1.基本不等式等号成立的条件；

2.运用基本不等式时，注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧。

学法指导：运用阅读“九字诀”中的“划、记、练、思”来阅读教材，并在阅读后完成导读评价单上的问题。

划——划出重点有效信息或条件，关键词句划上着重符号；

思——结合导读单上的目标，思考重要不等式和基本不等式的结构特征和适用条件；

练、记——记着基本不等式的内容和适用条件练习后面的习题，在练习中加深对知识的理解；

请同学们根据学习目标及下列预设问题、学法指导认真阅读教材（保证阅读遍

数），解决问题及自主评价。

22【模块一】基本不等式

思考：观察赵爽弦图，你能在图中找出面积间的不等关系吗？

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为 .这样，4个直角三角形的面积的和是 ，正方形的面积为 .由于4个直角三角形的面积 正方形的面积，我们就得到了一个不等式： . 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时

有 。

重要不等式

证明：当a，b是任意实数时，有ab2ab，当且仅当 时，等号成立．

22a2b22222常见变形：ab ，(ab) ，2(ab) (ab)

2基本不等式

(1)有关概念：当a,b均为正数时，把 叫做正数a,b的算术平均数，把 叫做正数a,b的几何平均数．

(2)不等式：当a,b是任意正实数时，a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ，当且仅当 时，等号成立．

(3)几何意义：半弦不大于半径．如图所示，ACa,BCb，则OD ，DCab1DE，则DC OD. 2ab2)，ab2ab (其中a0,b0，当且仅当ab时等号成(4)变形：ab(2立)．

（5）应用基本不等式ab

ab求最值的条件是一正二定三相等，

21

正：

定：

等：

即时训练

1.在下列不等式的证明过程中，正确的是 （ ）

abab22

baba B.若a,bR，则lgalgb2lgalgb

A.若a,bR,则 C.若xR，则x222x22

xxD. 若xR，则3x3x23x3x2

2.四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列，则 （ ）

A.adadadadbc B. bc C. bc D. bc

222211112 B. x222 C.x0,x2 D. x0,x2

xxxx3.下列不等式不成立的是 （ ）

A.xaba2b224.若a,bR，比较四个数、、ab、的大小。

1122ab

5.已知x0且x1，求lgxlogx10的取值范围。

【模块二】利用基本不等式求解最值

4的最小值为 。

x （2）若0x1，则x(1x)的最大值为 。

问题1.（1）若x0，则yx

变式1.（1）已知x

（2）若将题中条件“x51，求函数y4x2的最小值。

44x55”去掉，求函数的值域。

4

（3）.已知0x4，求yx(82x)的最大值。

2

问题2.

设a,b是实数，且ab3，则22的最小值是

。

变式2.实数x,y满足x2y4，则39的最小值 。

xyabx24问题3. （1）求函数y(x0)的最小值。

xx28(x1)的最小值；

（2）求函数yx1

变式3.求函数y

问题4.求函数y

变式4.求函数ysinx

问题5.已知x0,y0，且

变式5.已知a,bR，且a2b1，求t2x1(x1)的最大值。

2x5x6x25x42的最小值。

4的最小值。

2sinx191，求xy的最小值。

xy11的最小值。

ab

问题6.若x,y(0,)且2x8yxy0，求xy的最小值。

变式6：已知a,b为正实数，aab2b30，求函数y

问题7.已知x,y为正实数，3x2y10，求3x2y的最大值。

3 1的最小值。

ab

变式7.求函数y152x152x(x)的最大值。

22

【模块三】利用基本不等式解决恒成立问题

问题.若对任意x0，

变式：已知不等式(xy)(xa恒成立，则a的取值范围是 。

x23x11xa)9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值y为 ．

【模块四】利用基本不等式证明不等式

问题1. 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：abcabbcca。

222a2b2c2abc.

变式1.已知a,b,cR，求证：bca

问题2.已知a,b,cR，且abc1，求证：(1)(1)(1)8。

变式2.设a,b,cR,abc，求证：

问题3.若a,bR，求证：1a1b1c114。

abbcac11ab22。

22ab

【模块五】基本不等式的实际应用

1.建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．

2.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S的取值范围是多少？

(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？

3

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