阅读与思考 海伦和秦九韶教学活动设计方案

第三节

三角函数的图象与性质

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1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．

ππ2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在－，上的性质．

22

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数

y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图

象

定义域

R

R

πxx≠＋kπ，2

k∈Z } 值域

[－1,1] 递增区间：

2kπ－π，2kπ＋π

22(k∈Z)；

递减区间：

2kπ＋π，2kπ＋3π

22(k∈Z)[

πx＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax2π＝1；x＝2kπ－(k∈Z)2时，

ymin＝－1 奇函数

[－1,1] 递增区间：

[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)；

递减区间：

[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) R

单调性

递增区间：kπ－π，kπ＋π

22(k∈Z) x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；

x＝2kπ＋π(k∈Z) 时，

ymin＝－1 偶函数

无最值

最

值

奇偶性

对称性

周期

π对称中心：(kπ，0)(k∈Z) 对称中心：kπ＋2，0π对称轴：x＝kπ＋，k∈Z

(k∈Z) 2对称轴：x＝kπ，k∈Z

2π

2π

奇函数

kπ，0(k∈对称中心：2Z) 无对称轴

π

自我检测

π1．(教材习题改编)设函数f(x)＝sin2x－，x∈R，则f(x)的最小正周期为________，2

1

该函数是________函数(请填写“奇”或“偶”)．

2．(教材习题改编)函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性是________

3．函数y＝ cos x－12的定义域为__________

xπ4．(教材习题改编)函数f(x)＝3sin－，x∈R的最小正周期为________．

24π5．函数y＝3－2cosx＋的最大值为____________，此时x＝____________. 4考点突破

考点一：三角函数的定义域和值域

[例1] (1)求函数y＝lg(2sin x－1)的定义域 (2)y＝sin x－cos x.

考点二：三角函数的单调性

[例2] 求下列函数的单调递减区间：

πx－((1)y＝2sin4

考点三：三角函数的周期性、奇偶性与对称性

；π(2)y＝tan－2x. 3π[例3] (1)函数f(x)＝sinx－的图象的一条对称轴是________. 4π5π(2)已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的44对称轴，则

φ＝ ________. (3)若函数f(x)＝sin x＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝

_______. 互动探究

本例(1)中函数f(x)的对称中心是什么？

方法规律

函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数、周期性及对称性

(1)

若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值．

2

若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0. (2)

对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，

变式训练

ππ3．(1)函数y＝2sin(3x＋φ)|φ|＜的一条对称轴为x＝，则φ＝________. 212

(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.

两个性质——周期性与奇偶性

(1)周期性

2π函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)|ω|π的最小正周期为. |ω|(2)奇偶性

三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos（ωx＋b）的形式．

2．写出下列函数的单调区间及周期：

π(1)y＝sin－2x＋；(2)y＝|tan x|. 3

可通过检验f(x0)的值进行判断．

1．正切函数y＝tan x在定义域内是增函数吗？

ππ提示：不是．正切函数y＝tan x在每一个区间kπ－，kπ＋(k∈Z)上都是增函22数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．

2．当函数y＝Asin(ωx＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y＝Acos(ωx＋φ)呢？

3

π提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)2π时是偶函数；函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是偶函数，当φ＝kπ＋(k∈2Z)时是奇函数．

1．函数y＝tan 3x的定义域为(

) 3π xx≠＋3kπ，k∈ZA.2πB.xx≠＋kπ，k∈Z

6πC.xx≠－＋kπ，k∈Z

6πkπ，k∈Z

D.xx≠＋63ππkπ解析：选D 由3x≠＋kπ，得x≠＋，k∈Z. 263π2．设函数f(x)＝sin2x－，x∈R，则f(x)是(

) 2A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

πC．最小正周期为的奇函数

2πD．最小正周期为的偶函数

2π解析：选B ∵f(x)＝sin2x－＝－cos 2x，

2∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．

π3．已知函数f(x)＝sinωx＋(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(

) 3ππA．关于直线x＝对称

B．关于点，0对称

33ππC．关于直线x＝－对称 D．关于点，0对称

66π解析：选B ∵f(x)＝sinωx＋(ω＞0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝3πsin2x＋. 3π2ππ经验证可知f＝sin＋＝sin π＝0，

333π即，0是函数f(x)的一个对称点．

3ππ4．下列函数中，周期为π，且在，上为减函数的是(

) 42ππA．y＝sin2x＋ B．y＝cos2x＋

22

4

ππC．y＝sinx＋ D．y＝cosx＋

22ππ解析：选A 由函数的周期为π，可排除C，D.又函数在，上为减函数，排除B，42故选A. π5．函数y＝3－2cosx＋的最大值为________，此时x＝________. 4π3ππ解析：函数y＝3－2cosx＋的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，即x＝444＋2kπ(k∈Z)．

3π答案：5 ＋2kπ(k∈Z) 4

方法博览(三) 利用三角函数的性质求参数的四种方法

1．根据三角函数的奇偶性求参数

π[典例1] 已知f(x)＝sin x＋3cos x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)|φ|≤为偶函数，2则φ的值为________．

[解题指导] 先求出f(x＋φ)的解析式，然后求解．

π[解析] ∵f(x)＝sin x＋3cos x＝2sinx＋，

3π∴f(x＋φ)＝2sinx＋φ＋. 3ππ∵函数f(x＋φ)为偶函数，∴φ＋＝＋kπ，k∈Z，

32π即φ＝＋kπ(k∈Z)．

6ππ又∵|φ|≤，∴φ＝. 26π[答案]

6[点评] 求解三角函数奇偶性的参数问题常用下列结论进行解答：函数y＝Acos(ωxπ＋φ)＋B(A≠0)为奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)且B＝0；为偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．

22．根据三角函数的单调性求参数

π5π[典例2] 已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若，是f(x)的一个单85调递增区间，则φ的取值范围为

(

) －9π，－3π

B.4π，9π

A.10101010ππππC.， D.－π，∪，π

104104π5π[解题指导] 求三角函数的单调区间，先求出已知函数的单调递增区间，使，为85其子区间即可求得φ的范围．

5

π3ππφ3π[解析] 因为2kπ＋≤2x＋φ≤2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋－≤x≤kπ＋22424φ5π3ππ5π－，k∈Z，又因为，是f(x)的一个单调递增区间，|φ|＜π，所以≤kπ＋82845φπππφπππ－，k∈Z，解得φ≤，同理由≥kπ＋－，k∈Z，可得φ≥，所以≤φ≤. 2454210104[答案] C [点评]

解答此类题要注意单调区间的给出方式，如：“函数f(x)在kπ－5π，kπ＋π(k∈Z)上单调递增”与“函数f(x)的单调递增区间为1212kπ－5π，kπ＋π(k∈Z)”，二者是不相同的．

12123．根据三角函数的周期性求参数

π[典例3] 函数f(x)＝sinωx＋＋sin ωx(ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，3则ω＝________. [解题指导] 相邻两对称轴之间的距离为2，即T＝4. π133[解析] f(x)＝sinωx＋＋sin ωx＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx＝sin ωx3222π3＋cos ωx＝3sinωx＋，又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T＝4，622ππ所以＝4，即ω＝. ω2π[答案]

2[点评] 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(x)＝Acos(ωx＋φ)图象上一个最高点和它邻π近的最低点的横坐标之差的绝对值是函数的半周期，纵坐标之差的绝对值是2A.在解决|ω|由三角函数图象确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等．

4．根据三角函数的最值求参数

π[典例4] 若函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝处有最小值－2，则常数a，b的值3是(

) A．a＝－1，b＝3

B．a＝1，b＝－3 C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝1 22[解题指导] 函数f(x)＝asin x－bcos x的最小值为－a＋b. [解析] f(x)＝a＋bsin(x－φ)其中cos φ＝22aa2＋b，sin φ＝2ba2＋b2，

－a2＋b2＝－2，则π31f＝a－b＝－2，232

解得a＝－3，b＝1.

[答案] D [点评] 解答本题的两个关键：(1)引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式；(2)利用正弦函数取最值的方法建立方程组．

6