阅读与思考 海伦和秦九韶ppt课件教学实录

海伦—秦九韶公式

【教学内容】数学必修五第一章《解三角形》阅读材料(人教A版) 【教学对象】高一学生 【教材分析】在完成《解三角形》的学习之后，引领学生运用所学知识对秦九韶公式与海伦公式进行证明，并让同学们从中体会到数学之美。 【学情分析】学生在进入本节课的学习之前，已经熟悉余弦定理、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式。 【教学目标】 1、知识与技能：

（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；

（2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；

（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。 2、过程与方法：

（1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；

（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。 3、情感态度价值观：

（1）体会到数学的简洁美；

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（2）体会数学以不变应万变的魅力。 【教学重点】证明海伦—秦九韶公式的过程。 【教学难点、关键】海伦公式的本质。 【教学方法】引导探究、实例运用。 【教学过程设计】 一、回顾旧知 1、三角形面积公式。通过提问，让学生回答出已经学习过的公式，板书：SABC11底高两邻边夹角的正弦. 222、余弦定理的变形：

b2c2a2a2c2b2a2b2c2cosA，cosB，cosC.

2bc2ac2ab二、问题引出

.

问题：ABC中,已知a4,b5,c6,求ABC的面积运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？

在黑板上演示推导的全过程，让学生清楚地看到新知识的形成过程。 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261）在《数书九章》中记述“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，就面积的著名公式——秦九韶公式。

秦九韶公式：在ABC中，a,b,c是三角形的三边，则

122a2c2b22S[ac()].

42老师擦掉公式，让学生试着默写出秦九韶公式，大部分学生无法完整默写。秦九韶公式不够简洁不方便记忆的弊端。学生和老师继续

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探索，简化秦九韶公式。

公元1世纪，古希腊数学家海伦在其著作《度量伦》一书中给出一个用三角形的三边表达三角形面积的著名公式—海伦公式。

Sp(pa)(pb)(pc).其中，pabc.

2下面我们给出海伦—秦九韶公式的证明：

S1bcsinA

21222bcsinA

4122bc(1cos2A)

4122b2c2a22[bc()]

421b2c2a222=（bc）()

241b2c2a21b2c2a2=(bc)(bc)

24242bcb2c2a22bcb2c2a2=

442（bc）a2b2(ca)2=

44==abcabcacbbca

2222p(pa)(pb)(pc).

其中，pabc.

2通过上述证明向学生们揭示秦九韶公式与海伦公式的本质是一样的。

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设计意图：在推导过程中自然地解释海伦公式中为什么令p=1/2*（a+b+c）。体会海伦公式简洁的魅力，并了解一些数学家的故事。 四、海伦公式的应用

问题1：ABC中,已知a13,b14,c15,求ABC的面积.. 问题2：ABC中,已知a2,b2c,求ABC的面积的最大值.. 问题3：ABC中,已知a3,b2,c5,求ABC的面积..

设计意图：1.让学生经历运用海伦公式解决数学问题的过程；2.培养学生利用海伦公式解决三角形三边与面积之间关系问题的意识。 五、小结并归纳三角形面积公式

通过板书总结本堂课的内容

六、课后探究 鼓励学有余力学生探究证明海伦公式的其他方法。

证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,设BD = x，那么DC = a-x, 由于AD是△ABD、△ACD的公共边，

则h2=c2-x2=b2-（a-x）2，

c2-b2+a2解出x得x=，

2ac2-b2+a22于是h=c-（），

2a211c2-b2+a222S△ABC的面积=ah=a·c-（），

222a

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1即S=212c2+a2-b22ca-（），

222令p=（a+b+c），

对被开方数分解因式，并整理得到

S=p(pa)(pb)(pc). 得证. 七、【板书设计】（略）

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