小结板书设计及设计说明

一元二次不等式及其解法（第一课时）

新疆昌吉回族自治州第一中学

王丽

一、教学目标

知识目标：正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一元二次不等式的解法；

能力目标：通过看图象找使不等式成立的x的取值范围，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力；

二、教学重点、难点

1、教学重点：一元二次不等式的解法；

2、教学难点：理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式三者的关系。

三、教学过程设计

1.一元二次不等式概念的引入

（1）复习引入

一元二次方程ax2bxc0a0的解的情况：0方程有两个不相等的实数根；0方程有两个相等时实数根；0方程没有实数根。

例：求方程x2x30的根。

2(2)(2)24(3)方法一：x12x11,x232

方法二：

x2x3x140,x14222

方法三：

x12,x12,x11,x23x22x3(x1)(x3)0,x11,x2322我们知道，对于一元二次方程axbxc0a0，设其判别式为b4ac，它的解按照0,0,0分为三种情况，相应地，抛物线yaxbxca0与x2轴的相关位置也分为三种情况（如下图）：

同理也可得到yax2bxca0的函数图像。

（2）观察归纳，形成概念

观察式子：

xx60

抢答竞赛：

（1）该式子是等式还是不等式？（2）该式中含有几个未知数？（3）未知数的最高次数是几次？

通过这几个问题，你能归纳出一元二次不等式的定义吗？

定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

其一般形式为：

2ax2bxc0a0;ax2bxc0a0;axbxc0a0;axbxc0a022

师生活动：让学生观察所得式子，回答以上三个问题。在此基础上，学生自己归纳一元二次不等式的定义，教师帮助明确一元二次不等式的一般形式。

设计意图：通过抢答竞赛，即活跃了课堂气氛，也为学生归纳一元二次不等式定义做好知识准备。整个环节意在让学生经历数学知识的产生过程，体会成功的喜悦。

（3）辨析讨论，深化概念

抢答竞赛：判断下列式子是不是一元二次不等式？

1xy302x2x30

3x25x604ax22x50师生活动：教师再次展开抢答竞赛，其中命题（4）的判断中，教师要说明二次项系数a可能为0，也可能不为0。

设计意图：通过问题辨析，加深概念的理解，让学生区别一元二次不等式与其他不等式．（1）题可使学生明确定义中“一元”的意思，（3）（4）使学生明确定义中“二次”的意思．

2. 一元二次不等式解法的探究

此时，学生已经认识到是xx60一个一元二次不等式，一般地，怎样确定一元二次不等式ax2bxc0a0与ax2bxc0a0的x的取值范围呢？

（1）回忆旧知，寻找方案

观察一元二次不等式xx60左边的形式，在学过的哪些知识中出现过？

一元二次方程

xx60；一元二次函数yx2x6。

猜想：利用三者之间的关系来解一元二次不等式xx60

师生活动：根据“温故而知新”的教育理念，教师引导学生观察这个一元二次不等式左边的形式，在学过的哪些知识中出现过？由此得到求这个一元二次不等式x的取值范围的猜想方案。

设计意图：在教师的引导下，让学生思考、发现解决问题的关键点，避免了传统的填鸭式教学。

（2）

探究新知，从形到数

环节一：

画出二次函数yxx6的图象？

环节二：

22222画一画

看一看

观看几何画板动画，随着动点C横坐标x的变化，纵坐标y的变化情况。

思考回答：

当x取哪些值时，y0? 当x取哪些值时，y0? 当x取哪些值时，y0?

环节三：

（1）方程xx60的根是

（2）不等式xx60的x的取值范围是

（3）不等式xx60的x取值范围是

师生活动：学生进行以上三个环节，最终得出不等式xx60的x取值范围，从而冲出困惑。

设计意图：以上三个环节借助二次函数图象的直观性，引导学生对图象上任意一点的纵坐标进行跟踪观察，以获得对一元二次不等式x取值范围的感性认识，从而培养了学生从形到数的转化能力。

（3）

类比讨论，获得解法

环节四：

如果把函数yxx6变为yaxbxca0

222222说一说

变一变

1.方程axbxc0a0的根是

2

2.函数yaxbxca0的图象与x轴有几个交点？

2

3.不等式ax2bxc0a0的x的取值范围是

4.不等式ax2bxc0a0的x的取值范围是

可得下表：

二次函数

0

0

0

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

ax2bxc0a0的根x1,x2(x1x2)

bx1x2

2a无实根

ax2bxc0

a0ax2bxc0

a0xx1或xx2

x-b

2a无解

一切实数

x1xx2

无解

师生活动：经过小组研讨、代表发言、集体交流等一系列活动，共同得出“三个二次”之间的关系，从而找到了利用二次函数图象解一元二次不等式的方法。

设计意图：整个过程既能提高学生从特殊到一般的归纳能力，体会数形结合和分类讨论思想在解决问题中的运用，又能让每名学生充分发挥各自的长处和优势，促进共同进步。

3.一元二次不等式解法的应用

自主探究

例1.

求不等式

x5x0

的x的取值范围。

2

例2.

例3.

求不等式

4x4x10

的x取值范围。

2求不等式-x2x-30的x取值范围。

2思考：解一元二次不等式的一般步骤？

总结：（1）把二次项系数化为正数

；

（2）计算判别式；

（3）解对应的一元二次方程

；

（4）根据一元二次方程的根，结合图象，写出不等式的x取值范围。

（简记为一化二算三写）

师生活动：学生先自主探究三道例题，学习其规范的解题格式，并思考解一元二次不等式的一般步骤。在教师的引导下，展开课堂讨论，师生共同总结出解一元二次不等式的四个步骤。可以记忆为“开口向上大于零取两边，小于零取中间；开口向下大于零取中间，小于零取两边”。

设计意图：学生通过探究会发现当二次项系数小于零时，可以先化为正再求解，而且这三道例题也分别体现了0,0,0对不等式解集的影响，具有典型性、层次性和学生的可接受性。

演练反馈——（演板）

1、求不等式-2xx-50的x取值范围。

2、求不等式

x-4x40的x取值范围。

3、求不等式

x-5x30的x取值范围。

24、不等式xbxc0的x取值范围为x3或x1，求b与c。

22变式1：不等式axbx20的x取值范围为2x1求axbx20的x取值范222围。

2变式2：若不等式axbxc0的x取值范围为2x1，求关于x的不等式

cx2bxa0。

师生活动：学生上台演板，教师巡视课堂，给予个别指导。演板结束后，针对学生暴露出的问题，如解题不规范、运算错误等做详细点评。

设计意图：通过练习，反馈教学情况，内化学生所学知识。同时这几道练习题由浅入深，并能结合利用根与系数关系寻找根之间的联系，借此求出方程的根，其中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键，可以有效帮助学生实现知识间的融会贯通。

4.总结—反思

一元二次不等式的解法是近几年来高考综合题的热点，那么在掌握了解法步骤后能否百无一失、稳操胜券，还取决于是否拥有良好的解题习惯和数学素养。