小结教学设计(第一课时)

《不等式》复习小结

【教学目标】

1．会用不等式（组）表示不等关系；

2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；

3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；

4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；

5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。【教学重点】

不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。

【教学难点】

利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。

【教学过程】

1.本章知识结构

2.知识梳理

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：abba

(2)传递性：ab,bcac

(3)加法法则：abacbc；ab,cdacbd

(4)乘法法则：ab,c0acbc；ab,c0acbc

ab0,cd0acbd(5)倒数法则：ab,ab011

ab

(6)乘方法则：ab0anbn(nN*且n1)

(7)开方法则：ab0nanb(nN*且n1)

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；

作差法

3、应用不等式性质证明

（二）一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的解法

一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解集：

设相应的一元二次方程ax2bxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b4ac，2则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)

二次函数

0

0

0

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R 



ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集

x1,x2(x1x2)

x1x2b

2a

bxxx1或xx2

xx

2a

xx1xx2

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

ab

2abab(当且仅当ab时取""号).

1、如果a,b是正数，那么2ab2、基本不等式ab几何意义是“半径不小于半弦”

2（四）基本不等式ab（五）典型例题

2xy20,x2y40,满足3xy30.求例1 已知实数x,y

w=x2+y2的最大值和最小值.

题后归结

目标函数最值的确定采用的是平面图解法，其解题要点是：①确定可行域；

②让动态的目标函数的图象经过可行域；

③确定目标函数的最值.当目标函数是非线性时，其函数图象是动态的，且要经过可行域，从图象变化中就可找出最值. 练习1.某工厂有A,B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天8h计算,若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排方法所获利润最大?

例2设函数f(x)= x+a x∈［0,+∞).1x

（1）当a=2时，求函数fx)的最小值；

(（2）当0

题后归结

利用基本不等式求最值的解题技巧：①凑项;②凑系数;③分离;④换元;⑤在应用基本不等式时,若遇到等号取不到的情况,结合函数的单调性;⑥整体代换;⑦取平方. 注意事项：

①要注意适用条件和范围:“一正、二定、三相等”;②若等号取不到时,要注意利用函数的单调性求最值. 练习2 （

见课件）

（六）本课总结

（七）

随堂测试

（

见课件）