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成都七中嘉祥外国语学校教案

人教版《数学》必修5

第三章

第四节

基本不等式

基本不等式

（一）

高中数学组

卢飞

（汇报时间：2018年4月16日）

一、

教材分析

基本不等式是人教A版高中数学必修5第三章第3.4节的内容。它是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究。同时也是为以后学习（选修4—5）《不等式选讲》中的几种重要不等式以及不等式的证明作铺垫，有着承上启下的作用。

二、

学情分析

1、知识方面:学生在初中已经学***方公式，及了解了赵爽炫图；并在学习了不等式的基本性质的基础上，来学习基本不等式

，过渡自然，容易理解。

2、心理认知方面:高一学生处于15到17岁这一年龄阶段。发展心理学研究表明，该阶段认知处于形式运算阶段，思维形式摆脱了思维内容。有强烈好奇心，渴望与人交流。

三、

教学目标

1、知识与技能目标：掌握重要不等式及基本不等式，理解不等式成立的条件，及不等式取等号的条件；会用基本不等式解决实际应用问题，并能归纳总结研究函数最值的模型。

2、过程与方法目标：引导学生推导重要不等式及基本不等式。在用不等式解决问题的过程中，培养学生严谨的思维，锻炼学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

3、情感、态度、价值观目标：通过本节的学习，掌握基本不等式，并能简单地研究函数的最值问题，体会其应用价值，感受数学的完整性，提升学习数学的兴趣，提高数学素养。

四、教学重难点

本节教学的重点是应用数形结合的思想理解重要不等式和基本不等式，并从不同角度探索基本不等式aba+b；难点是用基本不等式建立数学模型解决实际问题，并能利用基本2不等式研究函数的最值问题。

五、

教法学法分析

通过学生熟悉的知识出发，以激发学生的求知欲，引导学生发现新知，并在过程中获得自信心和成就感。学生通过小组合作交流的方式，利用所学知识解决问题，进而在知识应用的同时，强调思维严谨性，注重知识的形成过程和总结归纳。

六、

教学过程

（一）

情境引入

首先介绍了2002在我国北京举行的国际数学家大会会标——赵爽弦图，引导学生从此图中不仅有我们所熟悉的勾股定理的模型，还蕴含了一个重要的不等式模型，引导学生利用1

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基本不等式

相关面积间的的数量关系，抽象出不等式a2b22ab。

（二）

重要不等式

引导学生从赵爽弦图中利用面积的数量关系得到重要不等式，并让学生在合作交流中发现不等式的成立条件及不等式的取等条件，调动学生的学习热情。

重要不等式：a2b22ab

不等式成立的条件：aR,bR；

不等式取等的条件：当且仅当ab时，等号成立。

（三）

基本不等式

（1）基本不等式的推导

指导学生根据重要不等式推导基本不等式，并研究不等式的成立条件及取等条件，动手完成这个推导过程，体会发现数学的乐趣，树立科学研究意识。

在重要不等式中，如果a0,b0，我们用a,b分别代替a,b可得到什么结论？取等条件如何？进而得到我们本堂课的主题：基本不等式。

基本不等式：

当a0,b0时，ab强调基本不等式的条件及取等条件。

（2）基本不等式的几何解释

引导学生在圆中寻找线段长来表示ab和决问题的角度，分析处理问题。

我们称ab为两个正数a,b的几何平均数，称a+b为两个正数a,b的算术平均数，那么，2a+b，进而找出其不等关系。引导学生从解2a+b，当且仅当ab时，等号成立。

2基本不等式就反应了两个正数的几何平均数与算术平均数的关系。即两个正数的几何平均数不大于其算术平均数。

此外，还要强调，基本不等式的结构：左边为两个正数积的结构，右边为两个正数和的结构。为后面介绍常见的基本不等式变形式做铺垫。

（四）

重要不等式及基本不等式的比较分析

在此环节，师生交流合作，完成重要不等式及基本不等式的对比分析，强调其共性与特性。在此基础上，书写基本不等式常见的变形式。

（五）

例题讲解

通过此部分例题分析，学生交流合作。在例1中，使学生注意到使用基本不等式应关注的问题（正数和取等条件）；在例2中，让学生认识到基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具。深入探讨，归纳总结出解决最值问题的两个模型，深化“积定和最小、和定积最大”的认识。

2

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基本不等式

例1：判断下列命题是否正确. (1)函数yexex的最小值为2. 1(2)函数yx的最小值为2. x(3)当x(0,)时，函数ysinx1的最小值为2. sinx4的最小值为4. sinx(4) 当x(0,)时，函数ysinx

例2：(人教版必修5.P99.例1)

(1)

用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(2)

一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

归纳总结：(人教版必修5.P100.34.A组).

(1)把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

归纳：积定和最小模型；

理论基础：当a0,b0时，ab2ab，当且仅当ab时，等号成立。

(2)把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，他们的积最大？

归纳：和定积最大模型。

理论基础：当a0,b0时，ab(

（六）

思考题

启发学生从不同的思维维度解决此问题，深化知识的内在联系。

已知a,b均为正实数，且a+4b=1，则ab的最大值为________.

3

ab2)，当且仅当ab时，等号成立。

2

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基本不等式

（七）

课堂小结

在师生互动交流中，完成知识的归纳总结，既是对本堂课的知识梳理，也是强调在应用时的细节问题，从宏观和微观驾驭知识，处理问题，总结方法，提升技能，培养学生的科研精神，提高学生的数学素养！

七、

板书设计

电子白板屏幕

主板书【一直保留】

1.

重要不等式：a2辅板书：例题等

b22ab

不等式成立条件：

不等式取等条件：

2.

基本不等式：abab

2不等式成立条件：

不等式取等条件：

3.

基本不等式的常用变形式：

ab2ab

ab(ab2)

2

八、

教学反思

4