2.2.2 反证法主要内容及教案内容

人教A版选修1-2《反证法》教学设计

【教学目标】 知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

【学习重难点】 学习重点：

1、理解反证法的概念，

2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，

3、用反证法证明简单的命题。

学习难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。

【学法指导】

通过自学和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤。法国数学家阿达玛曾说过：“反证法的证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法精辟的概括.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真，所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的. 反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.

【学习过程】

一、创设情境，引出课题

看故事1并回答问题：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 问题1：王戎是怎样知道李子是苦的吗? 问题2：他运用了怎样的推理方法?

王戎推理方法是:

假设“李子甜”

树在道边则李子少

与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾

假设“李子甜”不成立

所以“树在道边而多子,此必为苦李”

是正确的

看故事2并回答问题：古代有一贤臣被奸臣陷害，判了死罪，皇上念他过去有功，用抽纸片的形式决定他的命运，一张写“活”字，一张写“死”字，抽到“活”字可赦免，而奸臣歹毒,命人在两张纸片上都写上“死”字。诡计被贤臣的朋友知道，告诉了贤臣。贤臣想了想，高兴的说：“我活了！”

问题1：同学们知道贤臣是如何做的吗？

问题2：贤臣抽了一张纸片，吃了下去。最后皇上赦免了贤臣。同学们想想为什么？

贤臣的推理方法是：

假设我抽到的纸条上是“死”字则剩下的纸条上是“活”字，

这与现实中剩下的纸条上是“死”字矛盾

从而假设我抽到的纸条上是“死”字不成立

所以我抽到的纸条上是“活”字正确

二、探究定义

实际上，在现实生活中我们经常不自觉地使用这种推理方法，例如：大家都爱去人多的饭馆吃饭，买销量比较多的商品等等。这种推理方法有着共同的特点：先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确。从生活出发，我们可以给这种推理下一个定义。

一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明，反证法是最常见的间接证明。

三、探究反证法的证明过程

否定结论——推出矛盾——肯定结论

即分三个步骤：反设—归谬—存真

反设——假设命题的结论不成立；

归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；

存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。

归缪矛盾：

（1）与已知条件矛盾；

（2）与假设矛盾或自相矛盾; （3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾. 名家论反证法：哈代曾经这样赞美它“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方。牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”

三、例题讲解

例1：求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°

证明：

假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°，

即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°.

相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.这与三角形内角和定理矛盾，

所以∠A、∠B、∠C都小于60°的假设不能成立，从而一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.例2、已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。

分析：由于a≠0，因此方程至少有一个根x=b/a 。从正面较难说清为什么只有这个根，我们采用反证法，即证明如果不只一个根则会导致矛盾。

例3：已知x>0,y>0，x+y>2，

1x1y,求证：

中至少有一个小于2。

yx

分析：所谓至少有一个,就是不可能没有,要证“至少有一个”只要证明它的反面“两个都”不成立即可. 1y1x1y1x2,2,证明:假设 均不小于2，则xyxy

∵ x>0,y>0,∴1+x≥2y，1+y≥2x 将两式相加得:x+y≤2，与已知x+y>2矛盾，

1x1y,x 中至少有一个小于2。

所以

y

四、巩固新知: 1、写出用“反证法”证明下列命题的

“假设”. (1)互补的两个角不能都大于90°. (2)△ABC中,最多有一个钝角

2 、 A、B、C三个人， A说B撒谎， B说C撒谎， C说A、B都撒谎。那C必定是在撒谎，为什么？

3 、求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数. 五、全课总结

1、知识小结：

反证法证明的思路：假设命题的结论不成立→正确的推理,得出矛盾→否定假设，肯定待证明的命题

2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。“至少”的反面是“没有”，“最多”的反面是“不止”。

3 哪些命题适宜用反证法加以证明？

（1）直接证明有困难；

（2）否定性命题；

（3）唯一性命题；

（4）至多，至少型命题。