1.3 实习作业优秀教学设计内容

§1.1.1 正弦定理教学设计

河北定州中学 安阳亮

一、教学内容分析————————————————————

本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修五（人教A版）》第一章1.1.1正弦定理的第一课时。教材首先引导学生回忆任意三角形中有大边对大角，小边对小角关系，引导学生思考能否得到这个边、角关系准确量化的表示。进而研究特殊的直角三角形，从直角三角形三角函数的表示提出对其它三角形的情况是否也有相应的结论。用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，教材通过两个例题说明了用正弦定理解两类三角形的方法。

二、学生学习情况分析——————————————————

学生在初中时已经熟悉任意三角形中有大边对大角，小边对小角关系，并通过必修一三角函数的学习，更好的理解了直角三角形中三角函数的意义。学生对正弦定理的学习往往容易产生“只知其然，不知其所以然”的问题。造成这一问题的原因是由于在探究正弦定理结论的过程中没有经过充分的亲身体验和思考，过于注重在第一节课进行大量的应用正弦定理计算的问题。

三、设计思想——————————————————————

考虑到以往学生出现的“只知其然，不知其所以然”的问题，作为正弦定理的第一节课，应十分注重在教学过程中引导学生经历：①完整的“问题提出——问题解决”的过程；②经历从特殊的直角三角形获得的启发——猜想——应用几何画板体验并验证猜想——严格证明的过程——定理应用的过程。因此教学过程中对教材例题的运算部分做了简化处理，课堂教学的重点不应该在解三角形的计．．．．．．．．．．．．．．．．算，而应该放在正弦定理的探究及其证明，正弦定理可以直接应用于解什么样的三角形问题上。

另外需要指出的是，信息技术与数学课堂教学整合的过程中，经常由于幻灯片播放或老师演示课件的速度快，给学生留下的印象不深刻的问题，学生做笔记的时间也不多。因此本节课结合了学案教学。

学案的设计不但可以给学生提供一份详细课堂教学笔记，还可以清晰的展现课堂学习主线。由于学校设备条件的限制，对于无法在机房应用几何画板进行数学实验验证定理的情况，学案中介绍了几何画板的操作步骤作为补充，留给学生．．．．．．．．．．．．．．．．．．．课下操作。

四、教学目标————————————————————————

1. 能正确使用符号语言和文字语言叙述正弦定理的内容；

2. 能按照三角形形状分类，通过做三角形的高转化成直角三角形证明正弦定理；

3. 学会应用正弦定理解决已知三角形两个角和一条边或已知三角形两条边与其中一边对角解三角形的方法；

4. 通过证明定理的过程，体会分类讨论和化归的数学思想方法。

五、教学重点与难点—————————————————————

1. 重点：正弦定理的发现、证明与简单应用

2. 难点：正弦定理的证明

六、教学过程设计——————————————————————

环节设置

问题驱动与互动

初中时同学们学习了任意三角形中有大边对大角，小开场白

边对小角的关系，这是对三（问题

角形边角关系一个定性的提出）

描述。我们能够进一步得到任意三角形中边和角的准确的量化的关系呢？

直角三角形中有哪些边和角的关系呢？请将直角△．．．．．学情预设

回顾已有知识的内容，明确本节课研究的问题实质，为下面学习做好心理准备。

设计意图

“开场白”可以帮助学生理清知识体系，做好学习新知识的心理准备。

①学生很容易得出直角三角形中锐角的三角函数；ABCABC．．．的正弦用△．．．．．．．．的边长．．．②对于直角C，在特表示。

．．老师的引导下能殊实①sinC(sin90)可不可以够得出sinC1，情分c际上sinC1；形析一样用边长表示？

c的与②请同学们观察三个正③在老师引导下启引弦式子有什么特点，能观察式子，联立可示

导不能得到更进一步的结以得出细论？

abc定

节

sinAsinBsinC

的结论

理

在直角三角形的情况下，我部分同学能够提

们得出了出：对于任意△探

．abc

猜

，是否有上面，这是一ABC．．．究

sinAsinBsinC式子成立。

想

个非常漂亮工整的式子。这．与

个时候同学们有没有产生．．．．．．．．．．．

一些想法？

．．．．．证

我们可以借助几何画板来通过观察实验，验

验证一下自己的猜想（有机证猜想，体验正弦明

利房条件的学生跟着老师操定理结论的正确用作），演示几何画板

性。

信分①演示锐角三角形的情息析况，要有停顿；

技与②演示钝角三角形的情术引况也要有停顿。

验导证细猜节

想

①从已有知识的“生长点”开始探究，更好的建构新的知识；

②通过特殊的直角三角形探索边和角量化的结论。体现从特殊到一般的研究思想；③明确正弦，直入主题。

在设问的时候，老．．．．．．．．师．的．问．题．是．为．了．让．学．生．自．己．说．出．想法，提出问题，．．．．．．．．实际上是一种猜想。

①在平时教学中，鼓励学生学习利用信息技术验证自己的猜想，培养学生应用信息技术的意识；②充分利用学案资源，将几何画板软件的操作过程提供给学生，一方面提高学生数学学习兴趣，又可以引导学．．．生正确使用电脑。

．．．．．．．

环节设置

问题驱动与互动

点题：这就是今天我们要学习的正弦定理，同学们能用点自己的语言描述下这个结题

论吗？

学情预设

经过观察，将公式转化为自身的理解，用语言表述出来

定

理

探

究

与

证

明

正

弦

定

理

的

证

明

我们如何证明正弦定理呢？哪位同学能给大家提供一个思路？

①想一想我们前面的探究过程，实际上我们已分经证明了定理在什么情析况下是成立的？

与②那么我们只需要再证引明哪些情况定理成立就导可以了？

细③这是什么思想方法节

啊？

观察定理的结论，思考证明正弦定理的方法。

学生回忆到直角三角形的情况，通过引导降低问题难度。

学生思考定理证明的策略

学生关注数学思想方法

请同学们同桌之间讨论如同桌讨论思考

①给学生思考、交何证明锐角三角形时，定理流的时间，突破难结论成立

点；

教师走到学生附近，倾听参完成锐角三角形②学生思考、交流与讨论，发现问题

时定理的证明过的过程，老师可以走到学生身边及哪位学生能说一下讨论的程

时的发现学生出结果？

现的问题，及时应分①对学生的回答及时采对解决，更好的突析取合适的评价；

破难点

与②学生表述不清时，老引师帮助阐述总结；

导③关键是要“暴露数学．．．．细证明的思维过程”为什．．．．．．．，节

么想到做“高”

再给大家些时间讨论当三完成顿角三角形①给学生思考、交角形时钝角三角形时如何时定理的证明过流的时间，突破难证明

程

点；

②学生思考、交流教师走到学生附近，倾听并的过程，老师可以参与讨论，发现问题

走到学生身边及哪位学生能说一下讨论的时的发现学生出结果？

现的问题，及时应分①对学生的回答及时采对解决，更好的突析取合适的评价；

破难点

与②学生表述不清时，老引师帮助阐述总结；

导③关键是要“暴露数学．．．．细证明的思维过程”为什．．．．．．．，节

么想到做“高”

设计意图

定理结论给出后让学生用自己的语言说明，为了让学生更好的消化理解正弦定理的本质。

①明确定理证明的策略可以将三角形分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况；②渗透分类讨论思想方法，引导学生重视数学思想方法的学习。

环节设置

题目

题目设计说明及讲解注意

例题设计思考：本节课是解三角形的第一节课，在正弦定理的应用问题上，尽可能充分利用课堂体会应用定理解三角形的方法，避免在计算上占用过多的课堂时间。因此题目的设计除了尽量用特殊角，并且．．．．．．．．．．．．．．．．．．要求求指定的角度和边长，而不是求所有三角形的元素。目的是为了．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15角的正弦值问题，这些都留作学生课后继续完绕开有关求．．．．．75和．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．成。

．例

△ABC中，角A，B，C所

例题设计遵循有浅入深的原则，本题直对的边长是a，b，c，A45，

接应用正弦定理带入公式求解即可，主B60，a2，求b的值

要为了将学生的眼球集中在公式中的边和它的对角上

变式一

已知△ABC中，角A，

引导学生通过与例题做比较，虽然条件正B，C所对的边长是a，b，c，

中没有直接给出角A，但由于三角形内A45，C75，a2，求b角和是180，可以通过求角B来进一步弦的值

求出边长b

总结：已知三角形任意两个角的度数和一个边的长度，可以应用正弦定理解三角形。

定变式二

已知△ABC中，角A，

①引导学生关注哪一个计算步骤使三B，C所对的边长是a，b，c，

角形产生了两个解；

理②借助几何画板作图，让△ABC解的情b6，A45，a2，求况更清晰直观；

的角

③几何画板的设计应注意．．．．．．．．．．BC．．为固定长．．．．并指出△ABC 度2，要构成三角形，B点的轨迹是一B，C的度数，．．．．．．．．．．．．．．．．．有几个解。

应个以为圆心，2为半径的圆，点要．．C．．．．．．．．．．．．．B．．

搭在AB方向上才能构成三角形；

．．．．．．．．．．．．．．用④通过几何画板的展示，拓展学生数学思维，渗透数形结合的数学思想方法。

总结：已知三角形任意两条边和其中一条边的对角，可以应用正弦定理解三角形。

变式三

角A，B，C所对的变式三是对变式二的反向思考，在给出边长

三角

形解的个数情况下，求边a的范围。有是a，b，c，b6，A45， 了变

若△ABC有两个解，则a的式二作为铺垫，学生很容想到从以C为范

圆

围是多少？

心的圆与底边的交点个数考虑这一问题。

小结

正弦定理的证明，应用——解三角形，三角形解的个数

作业设计

求出例题和变式题目中没有求的元素，尝试用其它方法证明正弦定理