复习题板书设计及设计说明

勾股定理的应用

——长方体表面上的最短路线

一、情景导入：

前面我们在勾股定理的应用中，掌握了圆柱体表面两点之间的最短路线问题。那么如何确定长方体表面上的最短路线？

如图所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5cm，3cm，4cm．在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物．已知蚂蚁沿长方体表面,爬行的速度是0.8cm/s，

问:蚂蚁能否在11秒内获取到食物? 请同学们思考一下·

（音乐6秒）

我们一起来分析：

题目最后问，蚂蚁能否在11 s内从顶点A爬到顶点B获取到食物？已知蚂蚁爬行的速度为0.8cm/s，那么就可以计算出蚂蚁11S能爬行的最大距离为8.8CM ，那么，在蚂蚁由点A爬行到食物点B的路线中，怎样走最短？最短距离是否小于8.8 CM?

二、问题分析

1、我们知道两点之间的所有连线中，线段最短，将长方体展开为平面图形后，有多种展开方式。

2、沿着长方体的表面从点A走到点B，要使路线最短，无论怎样走，都要经过两个表面；

3、长方体共有6个表面，即上、下、左、右、前、后，相对的两个表面不但位置互相平行，而且形状相同，大小相等；

4、点A是下面、左面、前面的公共顶点，

点B是上面、右面、后面的公共顶点；

在一个长、宽、高分别为a，b，c 的长方体中，我们一起探究所有可能路线

，确定最短路线。

第一种走法：蚂蚁沿着前面和右面爬行，最短路线为图中的线段AB,

a+b 为一直角边

，c为另一直角边，根据勾股定理可得，A1B1ab2c2

第二种走法：蚂蚁沿着前面和上面爬行，最短路线为图中的线段AB，b+c为一直角边

，

a为另一直角边，根据勾股定理可得，A2B2bc2a2

第三种走法：蚂蚁沿着左面和前面爬行，最短路线为图中的线段AB,a+C 为一直角边

b为另一直角边，根据勾股定理可得，A3B3ac2b2. 5、我们将长方体表面展开成平面图形，在三个平面图形中线段AB为蚂蚁到食物的距离。我们可以构造直角三角形，根据勾股定理求解，可以通过比较得到距离最短的路线。

三、解决情景问题

根据上面的结论，我们再来看前面的这个问题，蚂蚁爬行最短路线问题，就可以轻松求解了。

在刚才的问题中，长方体的长、宽、高分别为5cm，3cm，4cm．也就是公式中的a=5cm,b=4cm,c=3cm,套用上面的三种情况，就可以得到AB的长度，

（点）大家动笔计算一下

通过比较可以得出，当最大棱长5cm为一直角边，(3+4)cm为另一直角边时，此时

74为最短路线长。因为74cm<8.8cm,所以，蚂蚁能在11 s内获取到食物。 您计算对了吗？

四、总结规律

我们再来探究一下，如果长方体长、宽、高分别为a，b，c，且a＞b＞c，如何快速找出沿长方体表面从点A到点B的最短路线d，通过比较可以得出，最短路线d是以最大棱长a为一直角边，以较小两条棱长和b+c为另一个直角边的直角三角形斜边，用勾股定理表示为

因此，长方体的长、宽、高三条棱长中，以最长的棱长作为一条直角边，较短的两条棱长的和作为一条直角边,这时所得斜边的长即为最短路线,

五、变式训练

1、如图，在棱长为10 cm 正方体的顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点G处爬行，从点A爬到点G的最短路线有多长？

请同学们思考一下·（音乐8秒）

当长方体的各边长都相等，即正方体时，其三种展开方式结果22AG1020105，你作对了吗？

一样，都为六、变式训练

2、如图，如图，长方体的长为15cm,宽为10cm、高为20cm,点B距离点C的距离是5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是多少？

蚂蚁要爬行的最短路程是多少? 请同学们思考一下·（音乐8秒）

点B是长方体的前面和上面相交棱长上的一点，不是长方体的顶点，但是从点A到点B爬行的最短路线时，并不经过点B的左边部分，因而，我们可以将点B看作右边一个新长方体的一个顶点。

那么，在新长方体中，它的长、宽、高分别为5cm、10cm、20cm，这样就可以利用上面的公式求解并比较，从而得出结果为25cm.

六、总结回顾

现在，我们一起来回顾一下刚才所将的内容：

1、我们学到的数学思想就是将

实际问题转化

数学问题

2、我们总结出，已知长方体的长、宽、高三个数据，求相邻异面棱长上两点间的最短距离时，有三种走法，其中，当较小的两个数据的和作为一条直角边的长，最大的数据作为另一条直角边的长,这时斜边的长即为最短距离。

谢谢大家！