回顾与思考优质课教案

第四章

一次函数

回顾与思考

简阳市华西九年义务教育学校 陈红英

一、学生起点分析

学生通过本章的学习，已经经历了从生活中去抽象出函数、一次函数、正比例函数等概念，从数与形两个角度去认识一次函数的三种表示方式及图像的性质．感受到了表格—关系式—图象的转化过程并掌握了确定一次函数表达式的方法，能灵活运用一次函数及其图象解决实际问题．

二、教学任务分析

通过问题的形式引导学生回顾本章内容，梳理知识结构。本节课的教学重点一次函数图象的特征及一次函数图象的应用，教学中，教师应通过学生举例建立函数模型，关注学生对一次函数的性质与图像的理解水平与应用一次函数解决实际问题的主动意识和能力．所以本复习课的教学目标是：

1.熟练掌握本章的知识网络结构

2.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，进一步发展学生的抽象思维能力．

3.经历一次函数的图象及其性质的归纳总结过程，在合作与交流中发展学生的合作意识和能力．

4.经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力，经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力．

5、能根据所给信息确定一次函数表达式，会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题．

三、教学过程设计

本章节复习预计两课时

第一课时：本章重点内容的归纳与知识结构图的建立，以及基础知识的简单应用（侧重完成目标1、2、3点）

第二课时：一次函数的综合应用及中考典型例题讲解训练（侧重完成目标4、5两点）

第一课时

本章重点内容的归纳与知识结构图的建立，引导学生自主复习，学会归纳重点内容，通过知识结构图的建立理清本章内容的逻辑关系。培养学生善于总结、乐于探索研究的学习品质及

1

与他人合作交流的意识

知识点一

：一次函数的概念及其图象、性质

关键点拨与对应举例

（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别

地，当b ＝0时，称为正比例函数．

例：当k＝1时，函数y＝kx（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）＋k－1是正比例函数, 的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.

1.一次函数的相关概念

k，b K＞0，

符号

大致

图象

2.一次函数经过的性质

象限

图象性质

（1）一次函数y=kx+b中，kb＞0 确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.

比较两个一次函数函数

（2）一、二、一、三、一、三

一、二、二、三、二、四

值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值三

四

四

四

代入法. y随x的增大而增大

y随x的增大而减小

例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．

例：

一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）. K＞0，

b＜0 K＞0，b=0 k<0，

b>0 k<0，

b<0 k<0，

b＝0 3.一次函数与坐标轴交点坐标

(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图bk(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．

象与x轴的交点是－，0，与y轴的交点是(0，b)；

知识点二

：确定一次函数的表达式

（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：

①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；

②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；

③解：求出k与b的值，得到函数表达式．

（2）常见类型：

①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；

③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同. ②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h. (1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可. (2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2. 例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．

4.确定一次函数表达式的条件

5.一次函数图象的平移

知识点三

：一次函数与方程（组）、不等式的关系

6.一次函数与一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）例：

方程

的图象与x轴交点的横坐标. 的解两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+by=k1x+b 7.一次函数与二元一次方程组

.

图象的交点坐标y=k方程组

2x+b （1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标

2

（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集

8.一次函数与（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式不等式

kx+b＜0的解集

知识点四

：一次函数的实际应用

为（1,0）. （2）一次函数y=-3x+12中，当x ＞4时，y的值为负数．

9.一般步骤

（1）设出实际问题中的变量；

（2）建立一次函数关系式；

（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；

（4）确定自变量的取值范围；

（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；

（6）做答. （1）求一次函数的解析式. （2）利用一次函数的性质解决方案问题. 10.常见题型

一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值. 第二课时

目的：学生通过对问题展开深入研究，在一个开放的环境下展示、讲解提出的问题，感受到自己的劳动成果被认可的喜悦。并在此过程中培养学生勇于探索、精神．在课堂上让学生真实解决问题展开教学，必将极大地激发了学生学习的积极性与主动性．进一步感悟函数模型．充分展现学生走进生活感受数学的应用，经历一次函数的图象及其性质的应用过程，发展学生发现问题和解决问题能力．

典型例题讲解与训练

热身运动：

1 .若式子k1 ＋(k－1)0有意义，则一次函数y＝(1－k)x ＋k－1的图象可能是(

) 2.(2018·寿光模拟)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且

a

3

例1.在平面直角坐标系中，将直线l1∶y＝－2x－2平移后，得到直线l2∶y＝－2x＋4，则下列平移作法正确的是(

) A．将l1向右平移3个单位长度

B．将l1向右平移6个单位长度

C．将l1向上平移2个单位长度

D．将l1向上平移4个单位长度

【解答】

∵将直线l1：y＝－2x－2平移后，得到直线l2：y＝－2x＋4，∴－2(x＋a)－2＝－2x＋4，解得：a＝－3，故将l1向右平移3个单位长度．

一次函数图象的平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项．此处需要注意的是，一次函数y＝kx＋b向左、向右平移n(n>0)个单位，得到y＝k(x±n)＋b，而不是y＝kx±n＋b.

.易错点：在一次函数y＝kx＋b中，当－3≤x≤1时，对应的函数值为1≤y≤9，则k＋b的值为________________．

【错解】

根据题意知，当x＝1时，y＝9，将其代入y＝kx＋b中，得k＋b＝9. 【错解分析】

错在没有全面考虑到y随x的变化情况，有可能y随x的增大而增大，也有可能y随x的增大而减小．

【正解】

分两种情况：

(1)当y随x的增大而增大时，同错解；

(2)若y随x的增大而减小，当x＝1时，y＝1，将其代入y＝kx＋b中，得k＋b＝1. 综上，k＋b的值为9或1.

例2.(2016·东营中考)如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6 交于点P(3，5)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是

．

【分析】 方法一：利用已知求出k，b的值，然后解不等式；

方法二：利用图象确定x的取值范围．

【自主解答】

方法一：∵直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于

4

1点P(3，5)，∴k＝－ 3，b＝2. 1解不等式x＋2>－ x＋6得x>3.故答案为x>3. 3方法二：∵直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，且

当x>3时，y＝x＋b对应的函数值大于y＝kx＋6对应的函数值，

∴x的取值范围为x>3.故答案为x>3.

变式训练

(2018·白银中考)如图，一次函数y＝－x－2与y＝2x＋m 的图象相交于点P(n，4)，

则关于x的不等式组 的解集为_ 例3.(2017·连云港中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，过

点A(－2，0)的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点O顺

时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D，C. (1)若OB＝4，求直线AB的函数表达式；

(2)连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长

解：(1)∵OB＝4，∴B(0，4)．∵A(－2，0)，

设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b，则

∴直线AB的函数表达式为y＝2x＋4. (2)设OB＝m，则AD＝m＋2. 1∵△ABD的面积是5，∴ AD·OB＝5，

12∴ (m＋2)·m＝5，即m2＋2m－10＝0，

2解得m＝－1＋ 或m＝－1－ (1111舍去)．

∵∠BOD＝90°，

∴点B的运动路径长为 ×2π×(－1＋ )11＝

变式训练

4已知直线y＝－ x＋8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M 3是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的

点B′处，则直线AM的函数表达式是( ) 14 π

11A． y＝－2 x＋8 B．y＝－3 x＋8

5

1C．y＝－21x＋3 D．y＝－3x＋3

例4.(2018·潍坊中考)为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机小时的施工费用为180元．

(1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？

(2)若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？

【分析】 (1)根据题意列出方程组即可；

(2)利用总费用不超过12960元求出调配方案，再利用一次函数增减性求出最低费用．

【自主解答】 (1)设每台A型，B型挖掘机一小时分别挖土x 立方米和y立方米．根据题意得

答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一

小时挖土15立方米．

(2)设A型挖掘机有m台，总费用为W元，则B型挖掘机有(12－m)台．根据题意得W＝4×300m＋4×180(12－m)＝480m＋8 640. ∵ 解得

又∵m≠12－m，解得m≠6，∴7≤m≤9，

∴共有三种调配方案．

方案一：当m＝7时，12－m＝5，即A型挖掘机7台，B型挖掘机5台；

方案二：当m＝8时，12－m＝4，即A型挖掘机8台，B型挖掘机4台；

方案三：当m＝9时，12－m＝3，即A型挖掘机9台，B型挖掘机3台

∵480>0，由一次函数的性质可知，W随m的减小而减小，

∴当m＝7时，W最小＝480×7＋8 640＝12000(元)．

答：A型挖掘机7台，B型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000．

变式训练

刘老师计划组织朋友暑假去青城山两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x人．

(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y(元)与x(人)之间的函数关系式；

(2)若胡老师组团参加两日游的人数共有32人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡

6

老师选择收取总费用较少的一家

【思路点拨】

本题考查一次函数的应用．(1)根据总费用等于人数乘以打折后的单价，易得y甲＝640×0.85x，对于乙旅行社的总费用，分类讨论：当0≤x≤20时，y乙＝640×0.9x；当x＞20时，y乙＝640×0.9×20＋640×0.75(x－20)；(2)把x＝32分别代入(1)中对应得函数关系计算y甲和y乙的值，然后比较大小即可． 【解答】

(1)甲旅行社的总费用：y甲＝640×0.85x＝544x；乙旅行社的总费用：当0≤x≤20时，y乙＝640×0.9x＝576x；当x＞20时，y乙＝640×0.9×20＋640×0.75(x－20)＝480x＋1 920；

(2)当x＝32时，y甲＝544×32＝17 408(元)，y乙＝480×32＋1 920＝17 280，因为y甲＞y乙，所以胡老师选择乙旅行社．

课堂小结：抽学生小结：

1、函数与；方程、不等式的关系

2、实际问题中的函数解析式

3、方案选择

课后作业

1.(2018·常德中考)若一次函数y＝(k－2)x＋1的函数值y 随x的增大而增大，则( )

A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0 2．(2017·呼和浩特中考)一次函数y＝kx＋b满足kb＞0，且

y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．(2018·济宁中考)在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝－2x＋1的图象经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若x1＜

x2，则y1 y2.(填“＞”“＜”或“＝”) 4．为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神．某校

特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划．现决定从某

地运送152箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大小货车共15辆，则

恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大小货车的载货能

力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表：

(1)求这15辆车中大小货车各多少辆？

(2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前

往A村的大货车为x辆，前往A，B两村总费用为y元，试求出y 与x的函数表达式；

(3)在(2)的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写

出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．

7

课本99-100页12、13、14、16、17题

教学设计反思

1．留给学生足够的思考时间

可以根据学生的实际情况进行适当调整.引导学生总结与归纳，教师应给学生充分的时间去思考与探究．个别学生有可能掉队。多关注学困生。

2．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会

课堂为学生提供展示了自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。但展示的面不大。使小组合作学习可能更具实效性．

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