2.基本不等式教案设计（一等奖）

基本不等式教学设计

盐池高级中学

何新忠

一、教材分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书-----数学选修4--5》（人教A版）第一讲第二节基本不等式的内容。在本节课之前刚刚学习了不等式的性质，这些内容为本节课打下了坚实的基础；同时，基本不等式的学习为解决最值问题提供了新的方法。基本不等式在高中数学中有着重要的地位，是高考的重点内容。本节内容分两节，一节是基本不等式的证明，一节是基本不等式的应用。

二、学情分析

初中阶段，学生学***方、开方、勾股定理、圆、射影定理等概念，本节课之前学过不等关系与不等式的性质，学生对不等式有了初步的了解和应用。但本节内容需变换灵活，条件有很多限制，既考查了学生数形结合又渗透了转化化归等数学思想；对学生能灵活应用数学基本知识解决实际应用问题有了较高的要求，是教育学生学好数学和用好数学的好素材。

三、设计思想

通过物理实验研究引入，对数据的观察、分析、归纳、抽象总结出基本不等式及其一些注意点；再利用圆来共同探讨基本不等式的几何意义；然后从代数的角度用不同的方法给予基本不等式证明。进一步学习数形结合的数学思想来强调不等式及其证明的几何意义和条件，以此加深学生对基本不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。

四、教学目标

1、探索并了解基本不等式的证明过程

2、体会证明不等式的基本思想方法

3、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题

五、教学重难点

教学重点：1、理解基本不等式的内容及证明

2、能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小

3、能初步运用基本不等式证明简单的不等式

4、运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题

教学难点：运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题

六、教学过程

（一）创设情境，提出问题

【设计意图：通过物理实验研究引入，让学生不是空洞的接受生硬的知识，激发学生对学习新知的兴趣和期待.】

把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a，如果天平制造的两臂长不等，那么a并非物体的实际质量。可将物体调换在另一托盘再称一次，质量为b，那么如何合理的表示物体的质量呢？

（二）师生互动、探究新知 【设计意图：引导学生从具体问题中抽象出数学模型。不断渗透数形结合的数学思想，激发学生的学习兴趣。】

1、物理引入，得出结论 探究一：

根据上述实验，利用不同重量的物体做实验得出不同的数据，完成下表,得出两个正数a,b的算数平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？（先介绍ab为a,b的几何平均数；称a b ab为a,b的算术平均数）. 230 39 59 99 76.43 79 92 23 46 57.5 70 99 83.25 84.5 25 54 36.74 39.5 11 100 33.17 55.5 68 2 11.66 35 58 11 25.26 34.5 11 80 29.66 45.5 ab

ab

234.21 34.5 由上表分析可得：abab（a0,b0）

2探究二：

将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两直角三角形的直角边重叠其中一顶点重合，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a和b（ab），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？

通过学生动手操作，探索发现：abab

22．代数证明，得出结论

根据上述两个背景，初步形成不等式结论：

若a0,b0，则abab．

2ab

2学生探讨等号取到情况，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：

若a0,b0，则ab提问：同学们能否尝试用代数方法给出这两个不等式的证明．

证法一（作差法）：

abab

2221ab2ab

221ab0，

2当且仅当ab，即ab时取等号．

证法二（分析法）：由于a0,b0，于是

要证明 abab，

2只要证明 ab2ab，

即证 即 ab2ab0，

22ab0，

2该式显然成立，所以得出结论：

abab，当ab时取等号．

2ab（当且仅当ab时，等号成立）

2若a0,b0，则ab基本不等式abab又可叙述为：

2两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.

3．几何证明，相见益彰

探究三：

如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，

连接AD,BD．

ACD~DCB

DCACBCDCCD2ACBCCD2abCDab由于RtCOD中直角边CD斜边OD，

于是有ab

ab

2当且仅当点C与圆心O重合时，即ab时等号成立．

故而再次证明：

当a0,b0时，abab（当且仅当ab时，等号成立）

2ab（当且仅当ab时，等号成立） 2通过上面的三个探究学习，师生一起归纳总结，得出一个新的结论：

基本不等式：当a0,b0时，ab注意使用条件：一正二定三相等. 常用公式变形：

（三）例题分析，公式运用

例1设a,b为正数，证明下列不等式成立：

ba1（1）2

2a2

ababa证

（1）因为a,b为正数，所以,也为正数，由基本不等式，得

ab

baba22

abab

所以原不等式成立

（2）因为a,1均为正数，由基本不等式，得

a

a112a2，

aa

所以原不等式成立. 16,x2,，求此函数的最小值. x2解

因为x2，所以x20，由基本不等式，得

1616x22

xx2x2例2已知函数yx

2

6

当且仅当x2x2162

x216. ，即x2时，取“”x2因此，当x2时，函数有最小值6. 变：将x2,改为x4,)，求此函数的最小值. 注意在应用基本不等式求最值，要注意满足三个条件：一正数二定值三相等. （四）应用举例，巩固提高

（1）证明：

113a1；

x2x0. a1x92（2）求函数y4x2的最小值，并求函数最小值时x的值. x

a（五）归纳小结，反思提高

基本不等式：当a0,b0时，abab（当且仅当ab时，等号成立） 2

（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；

（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．

（六）布置作业，课后拓展

（1）基本作业：课本P10习题1.1第5、13、14题

（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并

相互交流．