8.3 同底数幂的除法优质课教案

1.经历同底数幂的除法运算性质的获得过程,掌握同底数幂的运算性质,会用同底数幂的运算性质进行有关计算,提高学生的运算能力.

性.

2.了解零指数幂和负整数指数幂的意义,知道零指数幂和负整数指数幂规定的合理

进一步体会幂的意义的过程中,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,提高学生的观察、归纳、类比、概括等能力.

通过对同底数幂的除法性质的探索过程,让学生获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.

【重点】

了解同底数幂除法的运算性质,并能熟练应用.

【难点】

理解零指数幂和负整数指数幂的意义.

【教师准备】

课堂中的提问问题设计.

【学生准备】

预习教材P76~77.

导入一:

我们居住在一个美丽的星球,叫做地球,地球的体积大概是1.08×1012立方千米,太阳的体积大概是1.08×1018立方千米.同学们,你能告诉大家太阳的体积大约是地球的多少倍吗?请列出算式.

学生得出算式:1.08×1018÷(1.08×1012)=……

其实本质就是1018÷1012这个问题,本节课我们来研究“同底数幂的除法”.

[设计意图]

以测量生活问题为背景,引出数学问题.既尊重课本内容又符合加强数学与现实联系的要求,再辅以幽默、启发的语言调动起学生的兴趣.

[过渡语]

如果将am÷an表示成以a为底的幂的形式,结果是什么呢?

活动1

同底数幂的除法初探

思路一

1.计算下列各题,用幂的形式表示结果,并说明计算的依据.

(1)55÷53=

.

(2)(-3)5÷(-3)3=

.

(3)如果a≠0,那么a6÷a3=

.

(4)如果a≠0,那么a10÷a4=

.

处理方式:学生交流合作完成,展示根据除法和乘方意义进行运算的结果.(1)52;(2)(-3)2;(3)a3;(4)a6.

2.观察上面计算结果中幂指数之间的关系,如果a≠0,m,n是正整数,且m>n,那么a÷an=

.(am-n)

m推导过程:根据除法和乘方的意义,有:

am÷

-

个

an=

=

=am-n.

个

个

am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,且m>n).

同底数幂相除,底数不变,指数相减.

3.当m

设a≠0,对于正整数m,n,当m

个

am÷an=

=

=

个

-

个

-

.(强调这里是个约分的过程)

即am÷an=

-

.

活动2

探索零指数幂与负整数指数幂

思路一

1.已知m,n是正整数,a≠0,为了使am÷an=am-n在m≤n时仍然成立:

(1)当m

(a-p=

(a≠0,p是正整数),即任何不等于0的数的-p次幂,等于这个数的p次幂的倒

数.)

(2)当m=n时,m-n=0,应该如何规定a0的意义?

(我们规定:a0=1(a≠0),即任何不等于0的数的0次幂都等于1.)

2.同底数幂的除法的一般形式.

对于任意正整数m,n,都有:

am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数).

同底数幂相除,底数不变,指数相减.

方法一,从同底数幂的除法和约分的角度来进行说明:

我们前面这样推导了同底数幂的除法法则:

个

-

个

m-n

=

=

=a(a≠0,m,n是正整数,且m>n).

个

当m=n时,我们可以类似地得到:

个

a0=am÷am=

=1(a≠0,m为正整数).

个

当m

个

=

=

=

个

-

个

=(a≠0,p为正整数).

-

方法二,从乘除法的逆运算关系来说明:

因为am·a0=am+0=am,所以a0=am÷am=1(a≠0,m为正整数).

在这一结论的基础上再进一步得到:

因为ap·a-p=ap+(-p)=a0=1,所以a-p=1÷ap=

(a≠0,p为正整数).

[设计意图]

学习了有理数的乘方和前面几种幂的运算后,学生对正整数指数范围内幂的意义理解得很好.而理解零指数幂和负整数指数幂的意义对学生而言是个难点.这样设计目的是让学生完整经历观察、归纳、猜想、解释的过程,从而感悟先由具体问题概括出结论,同时,不同的解释思路可以帮助学生从不同的角度更好地理解零指数幂、负整数指数幂的意义.

活动3

例题讲解

计算.

(1)106÷102;

(2)23÷25;

(3)5m÷5m-1;

(4)an÷an+1(a≠0).

解:(1)106÷102=106-2=104.

(2)23÷25=23-5=2-2=

=

.

(3)5m÷5m-1=5m-(m-1)=5.

(4)an÷an+1=an-(n+1)=a-1=

.

[知识拓展]

当指数拓广到零和负整数范围后,我们前面学过的同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的运算法则仍然成立.

1.am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数),同底数幂相除,底数不变,指数相减.

2.a0=1,a-p=

(a≠0,p是正整数).

板书设计：

8.3

同底数幂的除法

活动1

同底数幂的除法初探

活动2

探索零指数幂与负整数指数幂

活动3

例题讲解

例题

布置作业

【必做题】

教材第78页习题A组的第1,2题.

【选做题】

教材第78页习题B组的第3题.