1.1.4 投影与直观图教学内容概述

双基达标

限时20分钟

1．一条直线在平面上的正投影是

A．直线

C．线段

B．点

D．直线或点

(

)．

解析

当直线与平面垂直时，其正投影为点，其他位置关系时的正投影均为直线．

答案

D 2．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A′＝

A．45°

C．45°或135°

B．135°

D．90°

(

)．

解析

在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°. 答案

C 3．如下图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是

A．AB

C．BC

B．AD

D．AC

(

)．

解析

还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长．

答案

D 4．一个图形的投影是一条线段，这个图形不可能是下列图形中的________(填序号)．

①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．

解析

②的投影是直线或点，对于③④，当图形所在面与投影面垂直时，其投影为线段，而⑤的投影显然不可能是平面图形．

答案

②⑤

5．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．

解析

将直观图△A′B′C′复原，其平面图形为Rt△ABC，且AC＝3，5BC＝4，故斜边AB＝5，所以AB边上的中线长为2. 5答案

2

6．画出底面是正方形且侧棱均相等的四棱锥的直观图．

解

画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1)．

(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形ABCD的直观图．

(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．

(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图(如图(2))．

综合提高

限时25分钟

7．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是

A．16

C．16或64

B．64

D．都不对

(

)．

解析

在直观图中边长为4的边若与x′轴平行，则原图中正方形的边长为4，此时面积为16；若与y′轴平行，则正方形的边长为8，此时面积为64. 答案

C

8．如图，一个正方形在直角坐标系中点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法得到的图形中，顶点B′到x′轴的距离为

1A.2

C．1

2B.2

D.2 (

)．

解析

直观图如图所示，

则B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°. 2∴B′到x′轴的距离为1×sin 45°＝2. 答案

B 9．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线AC1在六个面上的投影长度总和是________．

解析

正方体的体对角线在各个面上的投影是正方体各个面上的对角线，因而其长度都是2，所以其和为62. 答案

62 10．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为________．

解析

由比例尺可知长方体的长、宽、高和锥高，应分别为4 cm，1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm，0.5 cm,2 cm,1.6 cm. 答案

4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm

11．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD

为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．

解

在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示．

12在直观图中，O′D′＝2，梯形的高D′E′＝4，

1232于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝2(1＋2)×4＝8. 12．(创新拓展)如下图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．

解

(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画两底面．由三视图知该几何体为正六棱台，用斜二测画法画出底面ABCDEF，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度．过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′E′F′. (3)成图．连接A′A、B′B、C′C、D′D、E′E、F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.