3.2.2 复数代数形式的乘除运算优质课教学设计

§3.2.2复数代数形式的乘除运算

江门市江海区外海中学

梁

钦

教学目标：

知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算

过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教具准备：多媒体

教学过程：

知识回顾：

1、

复数的加法与减法法则

已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）

（1）．加法法则：：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. （2）.

减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 即:两个复数相加(减)就是

实部与实部,虚部与虚部分别相加(减). (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i 2、复数加法与减法运算的几何意义

新课讲授：

１．乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律：

(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3

(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)：

解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 复数的乘法与多项式的乘法是类似的.

例2计算：

（1）(3+4i) (3-4i) ；

（2）（1+ i)2.

解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25; (2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i. 3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等

于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

复数z=a+bi的共轭复数记作z,记zabi

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思考：若z1,z2是共轭复数，那么在复平面内，它们所对应的点

有怎样的位置关系？

4. 复数除法法则：

先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即

(abi)(cdi)abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

22cdi(cdi)(cdi)cd(acbd)(bcad)iacbdbcad22i.(cdi0).

2222cdcdcd∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2i. (cdi0).

222cdcd点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

例3计算(12i)(34i)

解：(12i)(34i)12i

34i(12i)(34i)386i4i510i12i

(34i)(34i)32422555先写成分式形式

然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数) 巩固练习：

1、计算

⑴(7i)(34i) ⑵(1i211) ⑶

1i32i32i2、已知Z11i,Z22i,求Z1,(Z1Z2)2.

Z2走近高考：

(2018全国理数)设Z1i2i,则Z?

1i课堂小结：

1、复数的乘法法则类似于两个多项式相乘，展开后要把i换成－1，然后实、虚部分别合并.若求几个复数相乘，可利用交换律和结合律每次两两相乘。

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2、复数的除法法则类似于两个根式的除法运算，一般先将除法运算式写成分式，再将分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母化为实数，分子按乘法法则运算。

3、对复数的乘法、除法运算要求掌握它们的算法，不要强记忆运算公式，对复数式的运算结果，一般要化为代数式。

课后作业：

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习题3. 2

A组4，5 课后思考：

i的幂的周期性。(nN)

i4n1

i4n2

i4n3

i4n4

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