2.基本不等式课堂实录【2】

《基本不等式》教学设计

一、

[设计思想] 本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。

要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求面积一定，周长最小；周长一定，面积最大”等实际问题的计算中也经常涉及到。

就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

二、

[教学目标] 1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→

剖析归纳证明→

几何解释→

应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

四、 [教学重点] 应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式ab及应用。

1

ab的证明过程2

五、 [教学难点] 1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；

2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

六、 [教学方法]

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

基本不等式：ab≤【知识结构】

ab简要教学思路

2

基本不等式的几何背景

︱

ab基本不等式：ab≤

2 ︱ ︱

基本不等式的证明过程

基本不等式的应用

一、

创设情景，提出问题；

【探究】：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的古代数学颜色的明车，代表将图中的

会标，会标是根据中国家赵爽的弦图设计的，暗使它看上去像一个风中国人民热情好客。现“风车”抽象成下图，

问题1、比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积，你能找到怎样的不等关系？

22利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab2ab

问题2、上式能否取到等号？什么时候取等号？

当且仅当a＝b时，等号成立

2

问题3、上式中a,b的范围能扩大吗?

对于任意实数a,b，有a2b22ab

问题4、你能给出证明吗？

学生在黑板上板书。

问题5、如果用a,b去替换上述结论中的a,b，则a,b需要满足什么条件？

问题6、替换之后能得到什么结论？什么时候取等号？

问题7、你能给出证明吗？

2(ab)0展开证明。

方法一：作差比较或由

方法二：分析法（完成课本填空）

要证abab

①

2只要证ab

②

要证②,只要证ab

0

③

要证③,只要证()20 ④

显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立

。

（告诉学生，这种证明方法称之为分析法，在我们高三的时候会适当的加深补充）

【归纳总结】

若a0,b0，则有ababab，当且仅当a=b时，ab。

22ab称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均2我们称此不等式为基本不等式。

其中数。

二、把握关键，突出主题

问题8、上述公式主要用于解决最值问题，你能观察出它可以解决哪些式子的最值问题？

问题9、在求最值的过程中需要满足什么条件？

[问]

怎样理解“当且仅当”？

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

3

当a=b时，取等号，即ababab；

2仅当a=b时，取等号，即ababab。

2三、探究归纳

1.结合教材，引导学生阅读教材99页例1，讲练结合，在学生动手的过程中逐渐感悟到“和定积最大，积定和最小”。

2.通过刚才例题，归纳出一正二定三相等的含义。

3.完成归纳后再给简单例题巩固。

四、能力提升

常见三种题型

1.不为正化正

2..不为定值拼出定值

3.1的代换

五、反思总结，整合新知

一个不等式：若a0,b0，则有ababab，当且仅当a=b时，ab。

22两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。

三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”

六、布置作业：课本P100习题A组1、2题

七、课下思考：类比基本不等式，当a,b,c均为正数，猜想会有怎样的不等式？

八、[教学反思]

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