三 反证法与放缩法公开课教案

教学设计

贵州省遵义市湄潭县求是高级中学

陈雁

贵州高考真题

17.(2014年全国II卷)已知数列{an}满足a11,an13an1.1(1)证明{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；21113(2)证明：.a1a2an211（3an）.221313又a1，所以{an}是首项为，公比为3的等比数列.222213n3n1所以an1,an的通项公式为an.22212(2)由(1)知n.an31解：（1）由an13an1得an1因为当n1时，3n123n1，所以11.3n123n111111313于是1n（1n）a1a2an3312321113所以.a1a2an2 师生活动：课前学生分析此题的解析过程，勾出看不懂的地方。课上教师引导学生指出困难点。

设计意图：从高考题出发可以激发学生的学习兴趣和能动性，同时培养学生发现问题，

解决问题的意识，能力。引出课题“数列多项分式求和的不等式证明————放缩法”。

数列多项分式求和的不等式证明

————放缩法

一、教学目标

1

1、理解放缩法的原理，了解数列多项分式求和的不等式证明的常用基本方法；能应用放缩法解决简单的数列多项分式求和的不等式证明。 2、通过情景创设、小组合作、讨论等培养学生的合作、探究、建模的能力，体会数学源于生活。

二、教学重难点

1. 理解放缩法的原理，解决简单的数列多项分式求和的不等式证明。

2. 证明时把握放缩的“度”。

师生活动：课前学生了解，课上教师快速带过。

设计意图：让学生更好的把握本节课的学习重心。

教学内容：

一、情景表演

背景：

男1号比2号高，但两人均认为自己更高，河水较深且两人不会游泳，附近也没有交通工具、桥等。 介绍成员，

第一幕： 旁白：男1号和男2号分别在河两岸游玩，起了争执。 男2号：瞧你个熊样，不就是我长高了点，让你捡了个男1号，嘚瑟。 男1号：你个矮冬瓜，要不是剧组没男的了，你也能当2号。 旁白：两人争执中

…………

第二幕： 路人甲：别吵了，我来给你们解决。 旁白：路人甲先和男1号比，路人甲高；路人甲游过河，和2号比，路人甲也高。 2

第三幕： 路人乙：吵什么，我来。 旁白：路人乙先和男1号比，路人乙矮；路人乙游过河，和2号比，路人乙也矮。 第四幕： 路人丙：看我的。 旁白：路人丙先和男1号比，路人丙矮；路人丙跳下河，被冲跑了…………

上台谢幕。

问题：

若还有一个路人丁，他要满足哪几个要求才能说明了男1号比2号高？尝试一一指出？ 1、三要素

（1） （2） （3） 。

2、放缩法

证明不等式时，通过把不等式中的某些部

分的值 ， 不等式，从

而 证明的目的。

师生活动一：请7位学生上台来表演上述情节（最后领取便签）。教师询问是否达到比较男1号比2号高的目的。

设计意图：让生活与数学紧密联系，让学生感受到数学源于生活。

师生活动二：学生抢答“路人丁满足哪几个要求”（由回答情况领取便签）。教师板书，再引导学生对应不等式。

设计意图：让学生学会建模，把生活问题如何建立成数学中的式子、符号的问题；从而，体会放缩的实质，明了三要素和概念。

师生活动三：师生共同完成“三要素和放缩法的填空”。

设计意图：归纳总结，形成概念。

3

二、课前回顾

1、求值（1）已知数列通项ann，前n项和Sn______.3（2）已知数列通项an()n，前n项和Sn______.41（3）已知数列通项an，前n项和Sn______.n(n1)2、比较大小aac（1）______(a,b,c0)bbaa（2）______(a,b,c0)bbc111(3)______ 2______(n1)n(n1)nn(n1)aac（4）______(ba0,c0)bbc

3、三种放缩方式（1） （2） （3） 。

师生活动一：课前学生完成1,2。课上教师用“随机数表”抽同学回答（由回答情况领取便签）。

设计意图：用“随机数表”即回顾了统计的知识，也体现了数学的应用价值，同时，检查学生的课前完成情况。

师生活动二：学生抢答“三种放缩方式”。教师选择未获得便签的小组（由回答情况领取便签）。

设计意图：让学生形成归纳总结的习惯，兼顾一些不活跃的小组。

三、真题分析

4

17.(2014年全国II卷)已知数列{an}满足a11,an13an1.1(1)证明{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；21113（2）证明：.a1a2an23n112解：(2)由an得n.2an31即证明22233113213n124、思路总结

（分为哪几步来思考？）

师生活动：教师引导学生分析第（2）小问的解题思路。

设计意图：教师引导可以降低此问的思考难度，规范解题过程，使学生更明确解题思路。

四、当堂检测

1、基础过关n2n2n（1）已知数列通项an，证明a1a2an.n121（2）已知数列通项ann，证明a1a2an3.n4(31)2、知者先行已知数列通项an注意：

师生活动一：对1学生先独立思考2分钟，再全体起立讨论完成，在这个过程中帮助困难生完成，当全组都没问题了就坐下（提前坐下的小组完成2），全部小组都坐下或绝大部分坐下后，请完成最快的小组上台展示，同时请人讲解；其它小组有不同意见的也请上台展示、讲解（由回答情况领取便签）。教师观察小组的讨论情况，对有困难的小组指导，最后，对上台展示的做评价，小结，指出不足，同时鼓励。

5

111，证明a1a2an.(n1)(2n1)2n2

设计意图：大胆放手学生，充分体现学生的自学、对学、群学，加强生生、师生的交流、互动。

师生活动二：让已完成2的学生上台板书讲解（由回答情况领取便签）。教师评价，小结，指出不足，同时鼓励。

设计意图：让优生“知者先行”，体现分层教学。同时，学生中心发言，提升自信，增强敢说、敢写、敢想的能力，带动更多的学生的内在学习动力。

五、课堂小结

师生活动：学生从知识，情感，生活等方面谈及收获，想法。教师做方向性引导、评价（由回答情况领取便签）。

设计意图：培养学生事后反思、总结的习惯。

六、课后作业

1、巩固训练—必做题1n1（1）已知数列通项an，证明aaa(n1).12n12（n1）n1112n1（2）已知数列通项ann，证明.a1a2ann2、拓展提升—选做题111（1）已知数列通项an，证明aaa.12n2（2n1）2（22n1）n(n1)（2）已知数列通项ann(n1)，证明a1a2an.2

师生活动：课后学生完成。教师根据检查情况再处理。

设计意图：巩固提高，同时，分层教学。能发现问题，及时解决。

6

七、小组评价

师生活动：学生反馈获得便签数量。教师给予对应的积分。

设计意图：及时对学生起到评价的作用，激励学生之间的内在竞争，形成集体的上进氛围。

八、板书设计

标题

1、不等式

2、三要素

3、放缩法

4、方式

多媒体区域

男2与男1比较（后面擦除）

随机数表抽取的号码（后面擦除）

讲解板演（后面擦除）

中心讲解

学生积分

7