一 比较法教学设计与反思

不等式的证明方法之-----比较法

教学目标：1.理解，掌握比较法证明不等式。

2.培养转化、分类讨论等数学思想；提高分析问题、解决问题的能力。

3.培养思维的严谨性、灵活性。

重点：用比较法证明不等式。1.作差比较法；2.作商比较法。

难点：对“差式”或“商式”进行变形（配方、因式分解、通分、作商是否变号等），并判断符号。是比较法的难点。

教学过程：

一、引入：

问题：如何比较两个实数的大小？

只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

abab0

abab0

abab0

二、例题：

例1、设ab，求证：a23b22b(ab)。

设计意图：让学生掌握“作差”比较法解题过程。

将差式变形，差式符号即可判断。变形的目的是能判断差式符号，在判断符号时要注意表述严谨、周密。

问题：作差比较法的步骤是什么？

练习.若实数x1，求证：3(1x2x4)(1xx2)2.

证明：

3(1x2x4)(1xx2)2

=33x3x1xx2x2x2x

=2(x4x3x1)

=2(x1)2(x2x1)

=2(x1)[(x)].

22424231223413x1,从而(x1)20,且(x)20,

241232∴

2(x1)[(x)]0,

24∴

3(1x2x4)(1xx2)2.

问题：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变化？

设计意图：让学生体会“作差”比较法。

因为求差后，式子中x的符号不确定，所以不容易判断符号，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，这种差式的符号可以判断。亦可化为2(x1)(x31)分情况讨论。

例2、已知a,bR,求证abab.

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.

abbaab0ababab(a从而原不等式得证。

2）商值比较法：设ab0,

abbabbabbab)0

aaabba1,ab0,

ba()ab1.故原不等式得证。

bbab设计意图：可以尝试使用“作差”比较和“作商”比较两种方法进行，拓展学生解决问题方法。 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号、结论。

问题：

作商比较法的步骤是什么？

例3、在日常生活中,“糖水加糖更甜”,即加糖溶化后,糖水的浓度变大了.若b克糖水中含a克糖(b > a >0),再加m(m>0)克糖溶化后,则糖水更甜。将这个事实抽象为数学问题，并给出证明。

解析:原来的糖水浓度为变大，及aam，加糖后糖水的浓度为，糖水更甜是指糖水的浓度bbmama。

bmb设计意图：培养学生能将实际问题转化成数学问题，并用数学问题解决实际问题能力。培养学生数学建模能力。

三、练习：

比较下面各题中两个代数式值的大小：

（1）x与xx1；（2）xx1与(x1)2. 四、小结：

教学目标：

1.理解，掌握比较法证明不等式。

2.培养转化、分类讨论等数学思想；提高分析问题、解决问题的能力。

3.培养思维的严谨性、灵活性。

重点：用比较法证明不等式。

1.作差比较法；2.作商比较法。

难点：对“差式”或“商式”进行变形（配方、因式分解、通分、作商是否变号等），并判断符号。是比较法的难点。

五、作业：

1．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小．

2．已知a1.

求证：（1）a22a1;

（2）3．设x1，比较x3与x2-x+1的大小．

4．如果x>0，比较2222a1.

1a2x1与2x1的大小．

2