1.不等式的基本性质ppt配套教案和课堂实录

不等式的基本性质

【考点指津】

1．不等式的概念

用不等号（>、<或≠）联结而成的式子叫做不等式．

2．两个实数大小的比较

设a、b∈R，则a>b比较法的根据．

3．不等式的性质

性质1

abbaab0，abab0，这是比较两个实数大小和运用

（对称性）

（传递性）

，a>b，c0acbc性质2

a>b，b性质3

a>b，a性质4

a>b，ccaccbc0acbc

以上是不等式的基本性质，以下是不等式的运算性质．

性质5

a>b，cdacbd

（加法法则）

（乘法法则）

性质6

a>b>0，c性质7

a>b>0，n性质8

a>b>0，nd0acbdN*anbnn

（乘方法则）

bN*na

（开方法则）

不等式性质在证明不等式和解不等式中有广泛的应用，它也是高考的热点，通常是以客观题形式考查某些性质，有时在证不等式或解不等式过程中间接考查不等式性质．

在复习中，对不等式性质的条件与结论，要彻底弄清，特别是对不等式两边平方、开方或同乘上某个数（或式子）时，要注意所得不等式与原不等式是否同向，否则在解题时往往因忽略了某些条件而造成错误．

从知识的联系上看，不等式的性质与函数的单调性是相互联系的，因此比较一些实数大小的问题，从不等式性质与函数性质结合的角度去认识是必要的．

【知识在线】

1．下列命题中，正确的命题是（

）

①若a>b，c>b，则a>c；

②a>b，则lgab1a1b0；

③若a>b，c>d，则ac>bd；

④若a>b>0，则；

⑤若acbd，则ad>bc；

⑥若a>b，c>d，则a-d>b-c．

A．

①②

B．

④⑥

C．

③⑥

D．

③④⑤

2．下列命题中，正确的命题是（

）

A．a3>b3，ab>0acbc1a1b

B．

m>n>0，a>0mana

C．ab

D．

a2>b2，ab>01a1b

3．下列命题中正确的是（

）

A．若|a|>b，则a2>b2

B．

若a>b>c，则(a-b)c>(b-a)c C．

若a>b，c>d，则a-b>c-d

D．

若a>b>0，c>d>0，即4．下列命题中，正确的命题是（

）

A．

若ac>bc，则a>b

B．

若a2>b2，则a>b

C．

若1a1badbc

，则a

D．

若2xy40xy3ab，则a

命题乙：x和y满足，那么（

）

A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

【讲练平台】

例1（2000年全国卷）

若a>b>1，P=则（

）．

A．

R

B．

p

C．

Q

D．

P

借助对数函数单调性用基本不等式求解．

解法一

∵

a>b>1，∴

lga>lgb>0．

∴lgalgblgalgb2lgalgb，Q12(lgalgb)，Rlg(ab2)，，即P

又∵12abab2，

∴

lgablgab2．

∴

(lgalgb)lg(ab2)，即Q

∴

P

分析二

用特殊值法解

解法二

取a=10000，b=100，则lga=4，lgb=2．

∴

P=22，Q=3，R=lg5050．

显然Plg1000=3=Q．

∴可排除A、C、D．

故选B．

点评

不等式性质的考查常与幂函数、指数函数和对数函数的性质的考查结合起来，一般多以选择题的形式出现．

此类题目要求考生有较好、较全面的基础知识，一般难度不大．

例2

若函数f(x)，g(x)的定义域和值域为R，则f(x)>g(x)（x∈R）成立的充要条件是（

）．

A．

有1个x∈R，使得f(x)>g(x)

B．

有无穷多个x∈R，使得f(x)>g(x) C．

对R中任意的x，都有f(x)>g(x)+1

D．

R中不存在x，使得f(x)≤g(x) 分析

4个命题的关系在证明问题过程中经常使用．

原命题：若A成立，则B成立，逆命题：若B成立，则A成立；否命题：若A成立则B成立；逆否命题：若B成立，则A成立．

其中AB与BA互为充要条件．

由于对任意x∈R，f(x)>g(x)成立的逆否命题为：在R中不存在x，使f(x)≤g(x)成立．

答

选D．

点评

本题也可通过构造特殊函数，采用排除法解决．

值得强调的是：不等式的性质的考查方向将更加注重基础性、全面性．

题型灵活多变．

例3

已知1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，求3a-2b的取值范围．

分析

本题应视a+b与a-b为两个整体．

解

设a+b=u，a-b=v，则a1252uv2，buv2．

∴3a2buv．

由已知1≤u≤5，-1≤v≤3，易得-2≤3a-2b≤10．

点评

本题常见的错误解法是：由已知，得0≤a≤4，-1≤b≤3．

进一步，得0≤3a≤12，-6≤-2b≤2．从而，得-6≤3a-2b≤14．

由解题过程知，u与v各自独立地在区间[1，5]与[-1，3]内取值，从而知10]内的一切值．

在错误解法中，得到的0≤a≤4，-1≤b≤3已不表明a与b可各自独立地在区间[0，4]与[-1，3]内取值了．

如a=4，b=3，a+b=7已不满足1≤a+b≤5．

得到的区间[0，4]与[-1，3]应这样理解：对于任意给定的p∈[1，5]与q∈[-1，3]，存在a∈[0，4]，b∈[-1，3]，使得a+b=p，a-b=q．

不等式的性质与等式的性质不一样，一般不具有可逆性．

掌握不等式性质时要谨防与等式性质做简单类比而致错．

【知能集成】

1．对不等式性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一性质的条件和结论、注意条件的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系；

不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面．

单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础．

因为解不等式要求的是同解变形．

2．高考试题中，对不等式性质的考查主要是：

(1) 根据给定的条件，利用不等式的性质、判断不等式或与之有关的结论是否成立．

(2) 利用不等式的性质与实数的性质、函数性质的结合，进行数值大小的比较．

(3) 判断不等式中条件与结论之间的关系，是充分条件或必要条件或充分必要条件．

3．要注意不等式性质成立的条件，例如：在应用“a>b，ab>0ba1b12u52v可取[-2，1a1b”这一性质时．

有1a1b些同学要么是弱化了条件得a>b【训练反馈】

．

要么是强化了条件而得ab0．

1．（2001年上海春招卷）若a、b是实数，则a>b>0是a2>b2的（

）

A．

充分不必要条件

B．

必要不充分条件

C．

充要条件

D．

既非充分条件也非必要条件

2．若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是（

）

A．

a-d>b-c

B．

a+d>b+c

C．

a-c>b-c

D．

a-c

）

A．

a>bam2>bm2

B．

C．

a3>b3，ab>01a1bacbcab

1a1b

D．

a2>b2，ab>0

4．（1999年上海卷）若a

）

A．不等式1a1ab1ab1b和1a1a1|a|1|b|均不能成立

1|b|1b2B．不等式和1|a|均不能成立

1aC．不等式和(a)(b)2均不能成立

D．不等式1|a|1|b|和(a1b)2(b1a)2均不能成立

5．当0

）

1

A．

(1a)b(1a)bb

B．

(1+a)a>(1+b)b

a

C．

(1a)(1a)

D．

(1a)a(1b)b

6．（2001年北京春招卷）若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（

）

A．

18

B．

6

C．

23

D．

243

7．a、b为不等的正数，k∈N*，则(abk+akb)-(ak+1+bk+1)的符号为（

）

A．

恒正

B．

恒负

C．

与a、b大小有关

D．

与k是奇数或偶数有关

8．不等式xyyx2成立的充要条件是（

）

A．

x>y

B．

x≠y

C．

x≠y或xy>0

D．

x≠y且xy>0 9．（2000年北京春招卷）已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，则（

）

A．

b(,0)

B．

b(0,1)

C．

b(1,2)

D．

b(2,)10．已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，则4a-2b的取

值范围为________．

11．已知三个不等式：①ab>0，②cadb，③bc>ad．

以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题，请用序号写出它们．

即_______．

（把所有正确的命题都填上）

12．已知f(x)=ax2-c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的最大值与最小值．