三 反证法与放缩法板书设计及意图

选修4_5 不等式选讲

课 题：

第09课时 不等式的证明方法之三：反证法

一、引入：

前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步

分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步

作出与所证不等式相反的假定；

第三步

从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步

断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

二、典型例题：

[来源:Z。xx。k.Com]例1、已知ab0，求证：nanb（nN且n1）

例1、设ab2，求证ab2.

证明：假设ab2，则有a2b，从而

33a3812b6b2b3,ab6b12b86(b1)2.333322

33

因为6(b1)222，所以ab2，这与题设条件ab2矛盾，所以，原不

等式ab2成立。[来源学科网ZXXK]

例2、设二次函数f(x)xpxq，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于21. 2证明：假设f(1),f(2),f(3)都小于1，则

2

f(1)2f(2)f(3)2.

（1）

另一方面，由绝对值不等式的性质，有

f(1)2f(2)f(3)f(1)2f(2)f(3)(1pq)2(42pq)(93pq)2

（2）

（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。

议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？

例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 

a)b, (1 

b)c, (1 

c)a,不可能同时大于1

4

证：设(1 

a)b >111,

(1 

b)c >,

(1 

c)a >, 4441

①

642则三式相乘：ab < (1 

a)b•(1 

b)c•(1 

c)a <1(1a)a又∵0 < a, b, c < 1

∴0(1a)a24同理：(1b)b[来源学科网Z,X,X,K]

11,

(1c)c

441

与①矛盾

64以上三式相乘：

(1 

a)a•(1 

b)b•(1 

c)c≤∴原式成立

例4、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0

证：设a < 0,

∵abc > 0,

∴bc < 0

又由a + b + c > 0,

则b + c = a > 0

∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0

与题设矛盾

又：若a = 0，则与abc > 0矛盾，

∴必有a > 0

同理可证：b > 0,

c > 0 [来源学科网][来源:Z+xx+k.Com]

三、小结：

四、练习：

1、利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且ab，则

ama.

bmb2、设0 < a, b, c < 2，求证：(2 

a)c, (2 

b)a, (2 

c)b,不可能同时大于1 3、若x, y > 0，且x + y >2，则1y1x和中至少有一个小于2。

xy提示：反设

五、作业：

1y1x≥2，≥2

∵x, y > 0，可得x + y

≤2

与x + y >2矛盾。

xy