一 比较法特级教师教学实录

证明不等式的基本方法——比较法

教学目标：1.通过本课的学习，使学生掌握两种“比较法（作差比较法与作商比较法）”证明不等式的基本原理；

2.学会“比较法”证明不等式的基本步骤；

3.初步培养学生分析问题解决问题的能力。

重点难点：重点是牢固掌握用“比较法”证题的步骤；

难点是掌握变形的思路和技巧。

教学过程：

一、复习引入：

1、实数大小比较的依据是什么？（让学生回答）

主要依据是：① a-b﹥0 a﹥b ② a-b= 0 a = b ③ a-b﹤0 a﹤b 2、由以上法则我们知道：

①要证a﹥b，只需要证a-b﹥0；②要证a﹤b，只需要证a-b﹤0，于是我们得到不等式证明的一种方法，作差比较法。

二、新授课：

1、“作差比较法”证明不等式

例1.求证x2+3﹥3x （1）

分析：欲证x2+3﹥3x，只要证x2+3-3x﹥0 （2）

于是配方法即得：（x-3/2）2+3/4﹥0，此不等式显然成立。

（3）

证明：板书证明过程（略）

利2.已知a、b∈R+，并且a ≠ b，求证：a5+b5﹥a3b2+a2b3 （1）分析：要证a5+b5﹥a3b2+a2b3，只要证明a5+b5-（a3b2+a2b3）﹥0 而a5+b5-（a3b2+a2b3）= a5- a3b2+（b5- a2b3）

=a3（a2-b2）-b3（a2-b2）

=（a2-b2）（a3- b3）

=（a-b）2（a+b）（a2+ab+b2）﹥0（∵a、b∈R+，且a ≠ b）

板书证明过程（略）

引导学生进行小结：用“作差比较法”证不等式的步骤是①作差；②恒等变形；③判断符号；④结论。

其中，“变形”以“作差”为基础，“判断差的符号”是“变形”目的，证明的实质是进行实数大小的比较。

③中为了确定差的正负，“变形”的目的一般是①一个常数；②一个常数与一个平方的和的形式；③几个因式的积的形式。

课堂练习：设a﹥b﹥0，比较（a2-b2）/（a2+b2）与（a-b）/（a+b）的大小

（要求一位学生到黑板去做，其余学生在下面做，大家都做完后，教师进行适当讲评）

（1）

分析：作差通分变形即可。

（2）

证明：必要时纠正学生的板书“证明过程”。

2.“作商比较法”证明不等式

比较法还有“作商比较法”：若一直b﹥0，则要证a﹥b，只要证a/b﹥1即可。

例3.已知a、b∈R+，求证： aa bb﹥ab ba

证明：注意到要证的不等式关于a、b对称，不妨设a≥b﹥0 差值比较法失效，采用商值比较法

∵a/b≥1，a-b≥0 （a-b）

∴aa bb/ ab ba=a（a-b）b-（a-b）=（a/b） （a-b）当a=b时，（a/b）=1 （a-b） 当a﹥b﹥0时，a/b﹥1，a-b﹥0，（a/b）﹥1 （a-b） 当b﹥a﹥0时，0﹤a/b﹤1，a-b﹤0，（a/b）﹤1 ∴aa bb﹥ab ba

故原不等式得证。

（板书证明过程）（略）

引导学生进行小结：用“作商比较法”证不等式的步骤：作商→变形（化简）→判断（商值与实数1的关系）→得出结论。

三、课堂练习：

1、已知：a﹥b﹥c﹥0，求证：aabbcc﹥（abc）(a+b+c)/3

2、设a﹥0，b﹥0，n∈N，求证：（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）

四、小结：

（1）“比较法”分为“作差比较法”和“作商比较法”两种；

（2）合适采用“作差比较法”或“作商比较法”？这两种方法证明不等式的步骤如何？请同学们思考。

五、作业：

课本：P23 1、2、3、4 六、板书设计

用比较法证明不等式

1.

1、“作差比较法”证明不等式

用“作差比较法”证不等式的步骤是①作差；②恒等变形；③判断符号；④结论。其中，“变形”以“作差”为基础，“判断差的符号”是“变形”目的，证明的实质是进行实数大小的比较。③中为了确定差的正负，“变形”的目的一般是①一个常数；②一个常数与一个平方的和的形式；③几个因式的积的形式。

2. “作商比较法”证明不等式

用“作商比较法”证不等式的步骤：作商→变形（化简）→判断（商值与实数1的关系）→得出结论。