1.不等式的基本性质教学创新设计

选修4-5 不等式选讲

1.1.1不等式你的基本性质

课 题：

不等式的基本性质

目的要求：

掌握不等式的基本性质，能运用不等式的基本性质证明不等式及比较大小

重点难点：

运用不等式的基本性质证明不等式及比较大小

教学过程：

一、引入：

不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为即可。怎么证呢?

二、不等式的基本性质：

1、实数的运算性质与大小顺序的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：

bbmbmb，加入m克糖

后的糖水浓度为，只要证>aamama

abab0

abab0

abab0

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：

①、如果a>b，那么bb。(对称性) ②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。

③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。

推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d

a+c>b+d．

④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac

⑤、如果a>b >0，那么anbn

(nN，且n>1)

⑥、如果a>b >0，那么nanb

(nN，且n>1)。

三、典型例题：

例1、

比较（x+3)(x+7)和（x+4)(x+6)的大小

例2已知a>b>0，c>d>0，求证：四、课堂互动练习：

1．对上述不等式的理解

ab.

dc

使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：

(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得

不等式；②c＝0时得

；③c<0时得

不等式．

(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以

；而a>b>0，

c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为

时，可以相乘，但不可以

．

(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为

，并且n∈N，n≥2，否则结论nn不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒an>bn(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒a>b(n＝2k＋1，k∈N＋)．

2.比较（x+1)(x+2)和（x-3)(x+6)的大小

3.

判断下列各题的对错

cc(1)＜且c＞0⇒a＞b

(

)．

ab

(2)a＞b且c＞d⇒ac＞bd

(

)．

(3)a＞b＞0且c＞d＞0⇒a＞db （ ）

c4.

对于实数a，b，c，给出下列命题：

①若a＞b，则ac2＞bc2；

③若a＞b，则a2＞b2；

ab④若a＜b＜0，则＞. baab(4)2＞2⇒a＞b

(

)．

cc②若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；

其中正确命题的序号是________．

πππα＋βα－β5.

已知－≤α≤，0≤β≤.求，的取值范围．

22222五、课堂小结：本节课主要学习了不等式的基本性质，利用不等式的基本性质证明不等式及比较大小. 五、作业:习题1.1第2题和第3题.