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1.独立性检验的含义及操作过程

若事件A与B独立,即P(AB)=P(A)-P(B) 统计假设H0∶P(AB)=P(A)-P(B) 根据概率的统计定义,上述H0用频率来估计. n(n11n22n12n21)22.φ=

n1n2n1n22①若φ2值较大,则拒绝H0,即A、B有关. ②当φ2＞3.841时,有95%的把握说A、B有关; 当φ2＞6.635时,有99%的把握说A、B有关; 当φ2≤2.706时,没有充分的证据显示A与B有关系. 3.回归方程的确定

ˆx

ˆybaˆb(xi1nnix)(yiy)

i(xi1x)24.相关系数r r=(xx)(yy)(xx)(yy)ii2ii2

5.r的性质

|r|≤1且|r|越接近于1,线性相关程度越强；|r|越接近于0,线性相关性越弱. 典例精讲

【例1】每立方米混凝土的水泥用量x(单位: kg)与28天后混凝土的抗压强度(单位: kg/cm2)之间的关系有如下数据: x 150 160 170

180 190 200

y x y 56.9 210 74.1 58.3 220 77.4 61.6 230 80.2 64.6 240 82.6 68.1 250 86.4 71.3 260 89.7 (1)对变量y与x进行相关性检验; (2)如果y与x之间具有线性相关关系,求回归直线方程. 解析: i

xi

1

150

2

160

3

170

61.6

4

180

64.6

5

190

68.1

6

200

71.3

7

210

74.1

8

220

77.4

9

230

80.2

10

240

82.6

11

250

86.4

12 260

89.7

yi

56.9

58.3

xiyi

8535

9328

10472

11628

12939

14260

15561

17028

18446

19824

21600

23322

x=205,y=72.6, xi1122i=518 600,yi1122i=64 572.94,xyii112i=182 943. r=1829431220572.6(51860012205)(64572.941272.6)22≈0.999, 查得r0.05=0.576, 因r＞r0.05,说明变量y与x之间具有显著的线性相关关系. (2)b=1821220572.64347=≈0.304,

51860012205214300a=y-b x=72.6-0.304×205=10.28. ˆ=0.304x+10.28. 于是所求的线性回归方程是y温馨提示

求回归直线方程和相关系数,通常是用计算器来完成的.在有的较专门的计算器中,可通过直接按键得出回归直线方程的系数和相关系数. 【例2】假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料: x

y

2

2.2

3

3.8

4

5.5

5

6.5

6

7.0

若由资料知,y对x呈线性相关关系,试求: (1)回归直线方程; (2)估计使用年限为10年时,维修费用约是多少? 解析: i

xi

yi

xiyi

1

2

2.2

4.4

2

3

3.8

11.4

3

4

5.5

22.0

4

5

6.5

32.5

5

6

7.0

42.0

x=4,y=5,

xi152i=90,xyii15i=112.3 xyi5i5xy=b=i1xi152i90,xiyi112.3i15112.354512.3=1.23 2109054a=y-bx=5-1.23×4=0.08. ˆ=1.23x+0.08. ∴回归直线方程为yˆ=1.23x×10+0.08=12.38 （万元）

（2）当x=10时，y即估计用10年时维修费约为12.38万元. 温馨提示

知道x与y呈线性相关关系,就无需进行相关性检验.否则,应首先进行相关性检验,若两个变量不具备相关关系,或者说,它们之间相关关系不显著,即使求出回归方程也是毫无意义的,而且用其估计和预测的量也是不可信的. 【例3】从某地成年男子中随机抽取n人,测得平均身高x=172 cm,标准差Sx=7.6 cm,平均体重y=72 kg,标准差Sy=15.2 kg,相关系数r=lxylxxlyy=0.5.求由身高估计平均体重的回归方程ˆ=+y. ˆ=β0+β1x,以及由体重估计平均身高的回归方程xylyylxx解:∵Sx=,Sy=, nn∴lxyn=lyylxx·=0.5×7.6×15.2=57.76. nnlxyˆ=∴n57.76=1, lxx7.62nˆ0=y-xˆ1=72-172×1=-100, ˆ=x-100. ∴由身高估计平均体重的回归方程为y

lxy由x,y位置的对称性,得=n57.76=0.25. lxx7.62nˆ=172-72×0.25=154, ˆ=x-yb∴aˆ=0.25y+154. ∴由体重估计平均身高的回归方程为x温馨提示

为了进行相关性检验,通常将有关数据列成表格,然后借助于计算器算出各个量,为求回归直线方程扫清障碍. 【例4】一个工厂在某年里每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有如下一组数据: x y x y 1.08 2.25 1.59 2.92 1.12 2.37 1.68 3.03 1.19 2.40 1.80 3.14 1.28 2.55 1.87 3.26 1.36 2.64 1.98 3.36 1.48 2.75 2.07 3.50 (1)画出散点图；

（2）求月总成本y与月产量x之间的回归直线方程. 解:(1)画出的散点图如下图所示.

(2)列表及求值

i xi

yi

1 1.08 2.25 2 1.12 2.37 3 1.19 2.40 4 1.28 2.55 5 1.36 2.64 6 1.48 2.75 7 1.59 2.92 8 1.68 3.03 9 1.80 3.14 10 1.87 3.26 11 1.98 3.36 12 2.07 3.50 xiyi

2.43 2.654 2.856 3.264 3.590 4.07 4.643 5.090 5.652 6.096 6.653 7.245 x=18.534.17,y==2.847 5, 1212xi1122i=29.808,yi1122i=99.208 1,54.243.

i112于是可得

12xy54.2431218.52.847512ˆi1b=≈1.215 12218.5229.80812()2xi12x12i1xyi12i

ˆx=2.847 5-1.215×18.5≈0.974.

ˆ=y-ba12因此所求的回归直线方程是

ˆ=1.215x+0.974. y温馨提示

掌握一定的计算机程序是解决计算题的法宝. 【例5】某种产品的广告费支出x与销售额y(百万元)之间有如下对应数据: x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 (1)画出散点图; (2)求回归直线方程. 解析: （1）散点图如下图所示

（2）

i xi

yi

xiyi

1 2 30 60 2 4 40 160 3 5 60 300 4 6 50 300 5 8 70 560 x=5.y=50. xi152i=145，yi152i=13 500，xyii15i

=1 380

计算相关系数,得

r=13805550(14555)(13500550)22≈0.92.

查表得r0.05=0.878,因为r＞r0.05,说明变量y与x存在着显著的线性相关关系. 设其回归方程为=+x. ˆ=bxyii152i15i5xy2xi5x13805550=6.5. 214555

ˆx=50-6.5×5=17.5. ˆ=y-baˆ=6.5x+17.5. 于是所求的回归方程为y温馨提示

在线性回归分析中,应先进行相关性检验,再求线性回归方程.